導數在解題中的妙用

郭新萍

【摘要】新課標理念下的導數學習，突顯了導數在研究函數的性質諸如定義域、單調性、單調區間，極值、最值，導數的幾何意義、生活中最優化問題等方面的方便快捷優勢。新課標理念下的高考，除考查這些基礎知識外，也比較多的涉及到數學的其它方面，本文就導數在求函數的值域、求函數的解析式、含參數的恒成立問題、確定方程根的情況、證明不等式、數列求和等方面的運用作一探討。

【關鍵詞】導數 ； 解題 ； 妙用

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】B 【文章編號】2095-3089（2015）7-0228-01

一、求函數的值域

二、求函數的解析式

例2.設y=f（x）為三次函數，且圖像關于原點對稱，當=， f（x）的極小值為-1，求函數的解析式。

解：設f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），

因為其圖像關于原點對稱，即f（-x） =-f（x）

-ax3+bx2-cx+d=-ax3-bx2-cx-d

∴b=0，d=0 即f（x）=ax3+cx 所以f'（x）=3ax2+c

依題意曲線在極值點處切線的斜率為0

故函數的解析式為f（x）=4x3-3x

三、利用導數處理含參數的恒成立問題

例3.求出m的取值范圍，使不等式x4-4x3>2-m對任意的x都成立。

思路：將含參數的不等式轉化為函數問題，利用導數求得函數的極小值，方可確定出參數的范圍。

解：令f（x）=x4-4x3 則f'（x）=4x3-12x2

再設f'（x）=0，可求得x=0或x=3，

當x<0時 f'（x）<0 當03時 f'（x）>0

此時 函數f（x）在x=3處有最小值，且最小值f（3）=34-4·33= -27

又f（x）=x4-4x3>2-m成立

所以-27>2-m成立，即可得m>29

四、利用導數確定方程根的問題

例4.確定方程 x3-6x2+9x-10=0的實根的個數。

解： 令f（x）=x3-6x2+9x-10 ，則f'（x）=3x2-12x+9

∴f'（x）=3（x-1）（x-3）

∴當x<1或x>3時 f'（x）>0 ∴ f（x）為增函數

當1

∴f（x）在x=1處有極大值，且極大值 f（1）=-6<0

故f（x）的極大值在x軸的下方，如圖1，所以f（x）的圖象與x軸只有一個交點，因此方程 x3-6x2+9x-10=0只有一個實根。

參考文獻

[1]張海峰，黃寒凝.導數綜合應用分析《中學課程輔導·教學研究》2011年第9期

[2]李朝東.高考檔案——理科數學（新課標版）寧夏人民教育出版社.2014年高考備考用書