運用容斥原理求組合圖形的面積

葉秀

[摘 要]有些組合圖形是通過相互重疊而形成的，求這類圖形的面積用一般的解題方法是比較繁雜的，而借助容斥原理來求解卻非常簡便。教師要引導學生認真觀察，辨明圖形的特征，理解圖形的構成，正確地運用容斥原理解題。教師要幫助學生構建完整的組合圖形知識體系，使學生能夠根據不同的情況選擇最合理的解法。

[關鍵詞]容斥原理;組合圖形;面積

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2017）26-0042-02

談到組合圖形，人們很容易想到它是由幾個基本圖形通過拼接或剪切而成的。因而，求組合圖形的面積時往往采用基本圖形的面積直接相加或相減的方法。但是，有些組合圖形并不是通過基本圖形拼接或剪切而成的，而是由幾個基本圖形相互重疊得到的。如果采用上述方法來求這類組合圖形的面積，就會非常復雜，而運用容斥原理來求解會非常簡便。那么，教師怎樣引導學生運用容斥原理求解組合圖形的面積呢？

一、認真觀察，辨明圖形的特征

任何一種好的解題方法都有它的針對性，運用容斥原理求組合圖形的面積也有它的針對性。因此，教師要引導學生認真觀察組合圖形，辨明什么樣的組合圖形能用容斥原理來求解面積。觀察辨明組合圖形的特征是運用容斥原理求解組合圖形面積的前提。教學中，我給予學生充足的時間觀察組合圖形，學生通過觀察發現：它是由幾個基本圖形通過重疊在某個基本圖形上形成的，而要求的面積往往是這幾個基本圖形比被重疊的基本圖形面積多的部分。

例如，圖1中的陰影部分如同4個小花瓣，它是由一個正方形內的4個直徑與正方形邊長相等的半圓重疊形成的圖形。圖2中的陰影部分是由分別以一個長方形的長和寬為半徑的兩個扇形（■圓）重疊的部分和大扇形比長方形多出的部分形成的圖形。像這樣通過重疊形成的組合圖形，運用容斥原理求解面積更簡便。

二、動手操作，理解圖形的成因

心理學研究表明，小學生的思維是從具體形象思維逐步向抽象邏輯思維過渡的，他們的抽象邏輯思維還不夠成熟，往往要借助直觀形象思維的幫助。能夠運用容斥原理求面積的這類組合圖形的形成過程是比較抽象的，學生很容易朝拼接或剪切的方向去思考解題方法，從而使得問題的求解變得更復雜。只要學生弄清了這類圖形的成因，自然就會運用容斥原理來解題。動手操作是非常重要的學習方式，通過動手操作，學生可親身體驗組合圖形形成的過程，加深對圖形的認識和理解，有利于學生找到正確的解題方法。

例如，求解圖1所示圖形的陰影部分面積時，教師可先讓學生在一張薄紙的中央用虛線畫一個邊長為10厘米的正方形，然后以正方形的每條邊為直徑向外畫4個半圓（如圖3），用剪刀沿實線把圖形剪下來，接著將每個半圓沿虛線向正方形內折，4個半圓中每相鄰的2個半圓都有一部分會重疊，若把折好的圖形對著陽光或燈光一照，就會出現與圖1一樣的陰影部分圖形，從而得知陰影部分的面積就是4個半圓比正方形多出部分的面積。求解圖2陰影部分面積時，教師也可讓學生先在薄紙上畫出并剪下如圖4所示的圖形，然后把兩個扇形（■圓）分別沿虛線向長方形內折，若把折好的圖形對著陽光或燈光一照，就會出現如圖2的陰影部分圖形，從而得知陰影部分的面積就是兩個扇形比長方形多出部分的面積。

三、根據原理，求出圖形的面積

學生通過動手操作理解了組合圖形的形成過程，就能清楚這類組合圖形是由幾個基本圖形重疊在某個基本圖形之上，陰影部分的面積就是比被重疊圖形多出的部分，同時知道了可以根據容斥原理來求解組合圖形的面積，即用基本圖形的面積之和減去被重疊圖形的面積就是所求組合圖形的面積。

例如，如圖1，學生明白了陰影部分是4個半圓比正方形多出的面積之后，根據容斥原理，用4個半圓的面積之和（相當于2個圓）減去正方形的面積即可得到陰影部分的面積：3.14×（10÷2）2×2-10×10=57（cm2）。圖2中陰影部分的面積是兩個扇形面積之和比長方形多出部分的面積，根據容斥原理，可用兩個扇形的面積之和減去長方形的面積即可得到陰影部分的面積，即3.14×82×■+3.14×42×■-8×4=30.8（cm2）。

四、動腦思考，發展空間想象力

通過動手操作，學生掌握了組合圖形的成因并順利求出了組合圖形的面積。但是，沒必要每道題都讓學生動手操作，動手是為了不動手，動手操作的目的是為學生思維發展提供一個階梯。因此，教師在教學中要善于引導學生將動手操作的直觀形象升華到數學邏輯思維，從而發展學生的想象力，使學生體驗數學學習的樂趣。

例如，在學生通過動手操作求出圖1中組合圖形的面積之后，教師應引導學生再觀察圖1，先想象把4個半圓沿正方形的每條邊翻轉到正方形外面的樣子（即圖3），再回憶動手操作的過程，想象把4個半圓沿著正方形的4條邊折到正方形內，每相鄰的兩個半圓所重疊的部分就形成了圖1中的陰影部分圖形。通過這樣的訓練，學生腦海中就會浮現圖形運動變化的過程，他們的空間想象力得到了進一步的發展，以后再遇到類似的圖形就不需要動手操作，只要動腦思考，就能在腦海中演繹圖形的變化過程，明白圖形的成因，順利地運用容斥原理解題。

又如，在求解圖5所示的圖形陰影部分面積時，可讓學生先觀察、思考，在腦海中先想象把圖5中的兩個扇形分別沿著正方形的左右兩條邊翻轉出來的樣子（即圖6），再把兩個扇形分別沿正方形的邊折到正方形里面，由此可知兩個扇形所重疊的部分就是圖5中陰影部分的面積。而圖5中陰影部分的面積就是兩個扇形（■圓）面積之和（相當于一個半圓）比正方形面積大的部分，根據容斥原理求得陰影部分的面積為3.14×82×■×2-8×8=36.48（cm2）。

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圖5 圖6

五、歸納整理，構建完整的知識體系

在學生學會運用容斥原理求解組合圖形的面積后，教師還要進一步引導他們構建完整的知識體系，使他們牢固掌握組合圖形的形成方法：拼接法、剪切法和重疊法（如圖7）。這樣，將有關組合圖形的知識置于整個幾何知識體系，甚至整個數學知識體系之中，可使學生的數學知識體系更加清晰，脈絡更加清楚。

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圖7

著名數學家華羅庚先生曾經說過：“人之可貴在于能創造性地思維。”在教學中，教師要引導學生創造性地運用各種數學原理和方法來解決一些復雜的數學問題，使枯燥遠離數學課堂，構建“處處有創新，時時有驚喜”的趣味課堂，讓學生從中體驗到數學學習的樂趣。

（責編 黃春香）endprint