微分方程在時域分析教學中的應用探討

鄭麗丹

將學生熟悉的微分方程求解，應用于自動控制理論的時域分析法的教學中，以二階系統為例，詳細講述了推導過程，得出了阻尼比在不同取值范圍內時輸出響應的時域表達式的具體情況。在學生學過的舊知識和即將要學的新知識之間架起了橋梁，使學生體會到學以致用的快樂，取得了良好的教學效果。

微分方程時域分析二階系統本文提出利用高數中二階微分方程的求解來得出二階系統中阻尼系數ζ在不同取值區間內的響應情況，總結規律，聯系物理學的實際，便于學生記憶和掌握。

一、推導過程

顯然，上述方程為高數中的二階常系數非齊次線性微分方程，根據數學理論，容易得知，c（t）的解由通解和特解兩部分組成，本式中特解為常數1，通解根據微分方程對應的特征方程的特征根的不同情況，有如表1中三種形式。

已知ωn≥0，故，只需依次分析ζ在不同取值范圍內對應的輸出響應的通解形式，就可以得出相應的規律。

1.ζ<0

（1）ζ<-1時，對應的特征根形式為上述表格第一種情況，且S1>0，S2>0，得到輸出響應在t≥0時，單調發散。

（2）ζ=-1時，對應的特征根形式為上述表格第二種情況，且S1=S2>0，得到輸出響應在t≥0時單調發散

（3）-1<ζ<0時，對應的特征根形式為上述表格第三種情況，且α>0，得到輸出的表達式：

由于C3>0且α>0，在t≥0時，可得輸出為一發散形式正弦振蕩曲線，不能收斂。

綜上所述，在ζ<0時，系統發散，在控制系統中，不滿足自動控制系統最重要的性能指標即穩定性，因而沒有研究的必要。

2.ζ=0

ζ=0時，對應的特征根形式為上述表格第三種情況，且α=0，得到輸出的表達式：

輸出表達式為正弦函數，等幅震蕩，既不收斂，也不發散，是收斂與發散的臨界狀態。

3.ζ>0

（1）0<ζ<1時，對應的特征根形式為上述表格

第三種情況，且α<0，得到輸出的表達式為式（6）

由于α<0，eαt收斂，可得輸出為震蕩收斂過程，即為欠阻尼過程。

（2）ζ=1時，對應的特征根形式為上述表格第二種情況。由于S1=S2<0，故：

且eαt收斂，可得輸出為單調的收斂情況，無震蕩，該情況即為臨界阻尼情況，是系統有無震蕩的臨界狀態。

（3）ζ>1時，對應的特征根形式為上述表格第一種情況，由于S1<0且S2<0，可得輸出為單調的收斂情況，無震蕩。

綜上所述，ζ>0，自動控制系統具有穩定性，可以作為實際的控制系統使用。

學生們在學習時，可以聯系物理學中的實際，物理學中我們知道沒有阻力情況下，物體會保持無限勻速運動，這就可以解釋為什么在自動控制原理中ζ定義為阻尼系數，可以認為ζ即為系統受到的阻力作用。

當ζ=0時，相當于無阻力，所以輸出保持正弦震蕩，既不收斂，也不發散。

當ζ<0時，可以認為是與阻力相反方向的力，即與運動速度方向相同的力的作用，會導致速度增大，因而系統發散。

當ζ>0時，系統具有阻力作用，因而速度會下降，呈現收斂的態勢。

上述內容，只是籠統的分析二階系統阻尼系數ζ在不同取值范圍內的響應情況，雖然沒有得出輸出表達式的具體形式，但是已經可以得到在阻尼系數ζ取不同數值的響應特點，表達式較簡單，方便學生對比記憶和掌握。

如果需要得到響應的具體表達式，用以分析超調量、調節時間等。我們只需把響應中的參數求出來即可，方法是利用傳遞函數的定義中要求的線性系統的初始條件為0的條件，我們以欠阻尼二階系統為例進行分析如下：

由于非齊次線性微分方程的解為通解和特解之和，依據前面得出的欠阻尼二階系統的通解和特解的值，可以得到欠阻尼二階系統的解為：

二、結論

由于高數中二階微分方程的求解為教師講授及學生理解、掌握的重點內容之一，所以大部分學生對該知識點很熟悉，將自動控制時域分析中的二階系統的響應的求法轉化為二階微分方程的解法，使得學生對新知識的陌生感消失。

同時，應用這種方法，總結規律，學生可以充分理解阻尼系數的意義，使得欠阻尼、臨界阻尼、過阻尼的概念易于理解和記憶。

本文中雖以較大篇幅給出了推導的過程，事實上，在講授的過程中，老師只需將自動控制中的二階系統與二階微分方程之間的相同之處提出來，推導的過程完全可以指導學生獨立完成，激發學生的學習興趣，同時，取得較好的教學效果。

另外，微分方程的解法也適用于對自控系統中一階及高階系統分析。

參考文獻：

[1]胡壽松.自動控制原理[M].北京：科學出版社，2013.71-75.

[2]同濟大學應用數學系.高等數學[M].北京：高等教育出版社，2007.259-276.endprint