一石激起千層浪

于彩俠

教材中的一些具有典型性、代表性的例題和習(xí)題，往往蘊(yùn)含著重要的數(shù)學(xué)思想方法。在系統(tǒng)復(fù)習(xí)課時(shí)，教師可以從學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)出發(fā)，鼓動(dòng)學(xué)生大膽設(shè)想，充分挖掘，尋找知識之間的相互聯(lián)系，從而能夠舉一反三。既能夠鞏固學(xué)生的基礎(chǔ)知識，又能培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力和探索精神。

北師大版選修教材2-1橢圓一節(jié)中有這樣一題目：“ΔABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（-6，0）和（6，0），邊AC、BC所在直線的斜率之積等于，求點(diǎn)C的軌跡方程。”依題意求出此題的結(jié)果是：，此題是比較典型的一習(xí)題，對此，我們可以引導(dǎo)學(xué)生做到以下幾個(gè)方面：

1 思考引申

把方程和題目中的數(shù)值進(jìn)行對比。發(fā)現(xiàn)恰好等于，這是否為一巧合呢？題中A，B是橢圓的兩個(gè)頂點(diǎn)，關(guān)于原點(diǎn)對稱。若A、B是橢圓C：上任意兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，P是橢圓上不同于A，B的一點(diǎn)，直線PA、PB的斜率都存在，是否有kPA·kPB =呢？

2 結(jié)論應(yīng)用

學(xué)生對自己推導(dǎo)出來的結(jié)論一定會興奮不已，教師趁此給予相關(guān)性的題目，讓學(xué)生對此結(jié)論加以應(yīng)用。

例如，2013年安徽省一高三聯(lián)考卷某題的第二問：已知橢圓E：，設(shè)P是橢圓E上第一象限內(nèi)的點(diǎn)，點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對稱點(diǎn)為A、關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為Q，線段PQ與x軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D為CQ的中點(diǎn)，若直線AD與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為B，試判斷直線PA、PB是否互相垂直？并證明你的結(jié)論。本題條件較多若抓不住入手點(diǎn)，會導(dǎo)致計(jì)算量大、得不出結(jié)果。若課堂上，教師引領(lǐng)學(xué)生對上面的習(xí)題加以引申，鼓動(dòng)學(xué)生自己推導(dǎo)結(jié)論，學(xué)生對此類問題能夠舉一反三，那么學(xué)生對本題就會迎刃而解。

分析：點(diǎn)P，A關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)B也在橢圓上，則，由題意又易得出，則，即kPA·kPB = -1，所以很快能夠判斷出直線PA，PB是互相垂直的，按照此思路給予證明即可。

3 類比拓展

由橢圓中這一習(xí)題，聯(lián)想到高中階段所學(xué)的解析幾何中中心對稱的曲線——圓、雙曲線，是否也有類似的結(jié)論呢？

3.1 圓

當(dāng)a=b ≠ 0時(shí)，方程表示的曲線是圓，點(diǎn)A、B在圓上且關(guān)于原點(diǎn)對稱，點(diǎn)P是圓上不同于A，B的點(diǎn)，若直線PA、PB的斜率都存在，則顯然kPA·kPB的值等于-1，恰好為。

3.2 雙曲線

類似于橢圓中的情況，若A，B是雙曲線C：上任意兩個(gè)關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)，P是雙曲線上不同于A，B的一點(diǎn)，直線PA，PB的斜率都存在，則kPA·kPB = 。

3.3 綜合應(yīng)用

人教版教材上的一練習(xí)題（選修2-1，80頁）：ΔABC的兩個(gè)頂點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是（-6，0）和（6，0），邊AC、BC所在直線的斜率之積等于m（m ≠ 0），求點(diǎn)C的軌跡方程。本題很好地綜合了以上三種曲線的共同問題，軌跡方程為：mx2 - y2=36m（m ≠ 0），m的范圍不同，所表示的曲線也不同：

（1）m>0時(shí)，軌跡是雙曲線；

（2）m = -1時(shí)，軌跡是圓；

（3）-1

對一道題加以深度地挖掘，脫離以往的死板、照本宣科的教學(xué)，溝通知識之間的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)生對知識的探究欲望，從而課堂教學(xué)才有活力和靈氣，學(xué)生的思維才能得到發(fā)展，能力才能得到提高。

參考文獻(xiàn)

[1] 趙緒昌.數(shù)學(xué)思維過程展示的教學(xué)策略[J].中國數(shù)學(xué)教育，2014（01）.

[2] 劉明.一道經(jīng)典例題結(jié)論的深度挖掘[J].中國數(shù)學(xué)教育，2013（12）.

（作者單位：安徽省太和縣太和中學(xué)）