射線、線段動點問題之推廣

雷曉宏

在日常生活中，經常會遇到去車站購票、畢業前夕學生們互贈照片等實際問題.在這里如果把火車的始發站看成一個定點，而把到達站看成一個動點，那么就可以把這類實際問題轉化為數學中的求線段總條數的問題了.

學生們學習了中華人民共和國教育部2012年審定通過的、人民教育出版社出版發行的義務教育教科書《數學》七年級上冊的“第四章 幾何圖形初步中”的“§4.2 直線、射線、線段”之后，對于如何求射線和線段的總條數是中華人民共和國教育部制定的、北京師范大學出版社出版發行的義務教育《數學課程標準（2011年版）》中要求每名學生必須掌握的知識點，下面就這一方面的問題做如下探討.

引例 一條直線上有n個點，試問可以得到多少條線段？

分析 對于這類問題，要經歷從特殊到一般的研究過程（所用的是“從特殊到一般”的數學思想），先畫出幾何圖形，再利用“經過兩點有且只有一條直線”尋找出規律即可.

解 如圖1所示，直線L上有A，B兩點，有一條線段AB.

如圖2所示，直線L上有A，B，C三點，以A為左端點的線段有AB，AC；以B為左端點的線段有BC，所以在圖2中共有3條線段（1+2=3），即線段AB，AC和BC.

如圖3所示，直線L上共有A，B，C，D四個點，以A為左端點的線段有AB，AC，AD；以B為左端點的線段有BC，BD；以C為左端點的線段有CD，所以在圖3中共有6條線段（1+2+3=6），即線段AB，AC，AD，BC，BD和CD.

【問題1】如圖4所示，從A地到B地的鐵路上要途經四個站，那么列車在A，B兩段之間需要多少種票價？需要準備多少種不同的車票？

【問題2】畢業聯歡會上，同學們互贈照片以作留念.李強同學所在的班上有30名同學，試問李強同學所在班的同學至少應該準備多少張照片？

解 在這里如果把某一個同學看成定點，把其他同學看成動點的話，那么這個問題就是求線段總條數的問題，但是由于照片是互贈的，所以至少應該準備照片30×（30-1）=870張.

通過以上例子可以看出，現實生活與數學是密不可分的，生活中的許多實際問題都可以轉化為數學中的動點問題來解.endprint