數形結合與信息技術在不等式中的應用與高考試題的聯系

周鵬

高考試題對數形結合的考查主要涉及：

1.考查集合及其運算問題（韋恩圖與數軸）；

2.考查運用函數圖像解決有關問題（如，方程、式、函數的有關性質等）；

3.考查運用向量解決有關問題；

4.考查三角函數的圖像及其應用；

5.解析幾何、立體幾何中的數形結合；

6.對于研究距離、角或面積的問題，可直接從幾何圖形入手進行求解即可；

7.對于研究函數、方程或不等式（最值）的問題，可通過函數的圖像求解（函數的零點、頂點是關鍵點），做好知識的遷移與綜合運用.

下面就以下兩個典型的題目來研究數形結合思想在高考解題中的作用.

分析 （1）以數的角度解決遇到的困難，從函數零點的概念出發，一般會考慮閉區間[α，β]的兩端點函數值的乘積f（α）·f（β）是否小于0，然而在驗證時存在一定的困難.

（2）向形的角度轉化，我們從數形結合的角度觀察f（x）=4sin（2x+1）-x在閉區間[α，β]上是否有零點，等價于函數f（x）=4sin（2x+1）-x的圖像與x軸是否有交點，等價于兩函數y=4sin（2x+1）與y=x的圖像是否有交點.

（4）從形的角度觀察，易知兩圖像的交點關于原點對稱（由于函數y=4sin2x與y=x均為奇函數）.

借助對稱性可知原點左邊如果有交點，則與其對稱的原點右邊一定有交點.因此，最先出現沒有交點的閉區間一定在最左邊，答案是A.

總之，從數形結合的角度“能力立意，考查數學方法與數學思想”距離我們并不遙遠.在數形結合思想中，有“形”就意味著有“數”，“數”中蘊含著“形”，恰當地改變思考問題的角度，往往能夠起到化抽象為直觀、化直觀為精確、化煩瑣為簡單的作用.數形結合為問題的解決提供了極強的方向信號.數形結合的高深之處在于構造一個完美的背景空間，使問題在輕松簡單的背景環境中實現轉化，是一種直觀的且又是具有挑戰性和成就感的精妙之法.endprint