用數學核心素養構建靈韻課堂

居加穎

數學核心素養是數學課程目標的集中體現，是具有數學基本特征、適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格與關鍵能力.高中數學核心素養主要包括：數學抽象、邏輯推理、數學建模、數學運算、直觀想象、數據分析.數學核心素養具體該如何實踐，需要慢慢探索，形成靈韻的數學課堂模式.下面筆者將以一節課為例，進行探究.

學生對圖形的敏感性比較強，本節課就從圖形出發，讓學生在圖形中找出最值和極值的區別，培養直觀想象能力.

問題1 觀察下圖，你能找出函數y=f（x）在區間[a，b]上的極大值和極小值嗎？

學生1：極大值為x2，x5.

學生2：不對，x2，x5是極大值點，極大值是f（x2），f（x5）.

教師：那你能找出函數y=f（x）在區間[a，b]上的最大值嗎？

學生4：是f（b）.

教師：你是怎么判斷出來的？

學生4：看圖就可以，x=b時，是最高點.

教師：最小值呢？

學生5：f（x1）.

學生6：f（x4）.

教師：既然你們有了不同意見，那怎樣才能確定最小值呢？

學生：我們用尺子量一下兩個函數值，然后比較一下，得到f（x4）更小一些.

學生通過圖形得到了找出最值和極值的區別的過程中，培養了直觀想象能力.在判斷最值的過程中，對數據進行分析，培養學生數據分析能力.

問題2 回顧一下剛才確定最大值和最小值的過程，你們可以得到最值的概念嗎？

學生7：最值是在整個定義域內尋找最大、最小的函數值.

教師：對，那是從圖像上得到的，你們可以把文字語言轉換成數學符號來表示嗎？

學生7：比如，最大值：在定義域內，若f（x）

學生8：這個定義不對，應該是在定義域內，若f（x）≤f（x0）.

教師：你為什么加了一個等號？

學生8：極值中x是x0附近的點，最值中x是定義域中所有的點，所以最值里的f（x）就包括f（x0）.

教師：很好.那這個最大值的定義，沒有交代x，x0的情況，你們覺得應該怎么交代x，x0？

學生9：在定義域內存在x0，對所有的x，都有f（x）≤f（x0）.

教師：很好，那么，最大值的定義就是：在定義域內存在x0，對所有的x，都有f（x）≤f（x0），則f（x0）為定義域上的最大值.同理，可以得到最小值的定義.

前面通過對圖形的探究，進一步得到最值的概念，培養數學抽象能力.

問題3 如果是開區間（a，b），最值情況如何？

學生10：最小值不變，最大值取不到，沒有最大值.

問題4 下面請同學們分小組交流，探討最值和極值的區別和聯系.

待討論結束，學生們各自分享探討結果.

學生11：極值是在x0附近的點比較函數值的大小，而最值是在整個定義域內比較.那么，極值是一個局部的概念，而最值是整體性的概念.

學生12：定義域內，可以有多個極大值、極小值，而只能至多有一個最大值或最小值.

學生13：極值可能是最值，最值不一定是極值.這個圖上，f（x4）是極小值，也是最小值，而f（b）是最大值，卻不是極大值.

學生14：極值只能在區間的中間取得，而最值可能是在端點處取得.比如，f（b）這個最大值就是端點值.

學生15：ymax>ymin，而極大值和極小值沒有必然的大小關系.

學生16：最大值不一定大于最小值，也可能相等??！常數函數最大值和最小值是相等的.

教師：很好，同學們把極值和最值的區別和聯系都找到了.那你們會不會求最值？

學生17：根據圖像，比較極值和端點值大小，得到最值.

學生深入探討，研究極值和最值的區別和聯系的過程，體現了數學抽象和邏輯推理能力.在學生的激烈討論中，得出了極值和最值的區別、聯系，還進一步整合了求最值的方法.

例1 求函數f（x）=x2-4x+3在區間[-1，4]上的最大值和最小值.

學生18：這是二次函數，直接通過二次函數的圖像，即可找到最值.

學生19：這個可以求導，找到極小值，就是最小值，最大值要比較兩個端點值.

通過學生19的方法，規范學生通過數的方法求最值的標準過程.而這個問題，比較簡單的方法就是學生18的方法，以形助數，充分體現了數形結合的作用.

例2 求函數f（x）=x3-x2-x+1在區間[-1，2]上的最大值和最小值.

教師：這個函數，你們會不會畫圖？

學生23：不會了，但可以通過數來解決.利用導數來研究這個函數.

問題5 你能嘗試畫出這個函數的圖像嗎？

學生24：不太會，我只能把幾個點找到.那怎么才能連起來呢？

學生25：剛才步驟中有表格啊，可以看到在每兩個點之間的單調性，那就可以連起來了.

教師：很好，我們不僅得到了最值，還得到了這個三次函數的圖像，也就是依數導形，體現了我們數學中的一個重要的思想方法——數形結合.

本節課可以在引入略做調整.把例1、例2先給學生做，做到例2的時候，學生會遇到困難，這個最值怎么求呢？在困惑中，教師再引導學生探討極值、最值兩者之間的關系.課堂效果會更好，能夠激起思維的火花.

本節課在培養學生的直觀想象、數據分析、數學抽象、數學運算、邏輯推理的數學核心素養的過程中，形成了和諧、活躍、高效的靈韻數學課堂.