用命題的方法研究函數的奇偶性

張卉

【摘要】“新課改”與上海“二期課改”以來，在高中階段使學生掌握一定的數學方法、形成一定的數學思維顯得愈發重要.函數的奇偶性是函數的基本性質之一，函數的奇偶性的教學案例不勝枚舉.本文將展現筆者作為職初教師的“另類”“函數的基本性質：奇偶性”教學案例——引領學生用命題的方法研究函數的奇偶性，以期與廣大數學教育工作者交流分享.

【關鍵詞】命題；函數的奇偶性；教學案例；反思

一、教材分析

“函數的基本性質：奇偶性”是上海教育出版社高中一年級第一學期數學教材中的第3章“函數的基本性質”中的第4節“函數的基本性質”的第一個主要內容.函數是高中數學的重點和難點，函數的思想貫穿于高中數學.本節課是在“函數的運算”的基礎上，進一步開始研究系統函數的四個基本性質（奇偶性、單調性、最值、零點）中的第一個——奇偶性.它一方面，能深化學生對高中的函數概念的理解，另一方面，也為今后研究函數的單調性等內容打下基礎.

二、學情分析

學生在初中已初步認識了正比例函數、反比例函數、一次函數、二次函數等，進入高中后掌握了函數的概念及運算，會建立簡單的函數關系，能用“描點法”作圖.學生對本節知識的學習有了一定基礎并充滿期待.學習完函數的奇偶性之后，學生會對后續的函數的單調性等內容的學習更有心得.學生在完整學習完函數的基本性質后會對函數的認識更加系統化.

三、教學目標

1.理解函數的奇偶性的定義及圖像特征，會判斷一些函數的奇偶性.聯系命題了解非偶函數、非奇函數的定義.

2.掌握證明函數的奇偶性的方法，能應用函數的奇偶性解決一些簡單的問題.

3.在研究函數的奇偶性的過程中，形成數形結合、類比歸納、嚴謹推理的數學思維.

四、教學重難點

1.教學重點：函數的奇偶性及圖像特征.

2.教學難點：判斷函數的奇偶性的方法.

五、教學方法

本節課的教學內容主要分為偶函數的概念教學與奇函數的概念教學兩部分，其中對于證明一個函數不具有奇偶性的內容，筆者另辟蹊徑，通過采用命題的方法與學生一起給出非偶函數與非奇函數的定義來研究.

對于偶函數的概念教學筆者主要采用了心理學理論的概念形成模式（具體例子→觀察共性→抽象本質→形成定義→強化概念→概念應用→形成概念域），主要采用啟發式教學法.而對于奇函數的概念教學筆者則主要引導學生采用類比的方法，自主探究、獨立完成.

六、教學反思

（一）分清易混淆的概念，體會證明函數奇偶性的真諦

本節課設計中的難點就是如何使學生理解與掌握證明一個函數沒有奇偶性的方法.作為職初教師，筆者在設計時查閱大量資料，都將采用的方法稱為“舉反例”.然而在第1章“集合和命題”后學生已經知道“舉反例”指的是舉出滿足命題的條件但不滿足命題的結論的例子，這顯然和我們用來證明一個函數沒有奇偶性的方法不一樣.

為使學生在學習函數的奇偶性時不產生上述概念的混淆，筆者經過數日思考發現可通過研究偶函數（奇函數）的定義得到的四個命題的真假性得到非偶函數（非奇函數）的定義來證明一個函數沒有奇偶性.實際教學后，學生普遍能明了偶函數、非偶函數、奇函數、非奇函數的定義并理解利用定義來完成相關的函數的奇偶性的證明問題，也沒有與“舉反例”的方法相混淆.故而，本節課雖然創新性地增加了概念，但對學生認知結構與數學體系的合理性與完整性來說是有極大裨益的.

（二）注重數學知識與認知結構的正確遷移

在高中數學的概念教學中，我們尤其應該注意數學知識與認知結構的內在聯系與遷移.在教學中，教師應該有意識地體現正確的認知遷移，使得學生能夠“溫故而知新”，循序漸進地完善認知結構.

在函數的奇偶性的教學中，很多教師會將學生熟悉的一次函數、二次函數和學生將要熟悉的冪函數、“耐克函數”、常值函數等常見初等函數選入例題供學生研究其奇偶性，這就是體現認知遷移的非常好的舉措.另外，在本教學案例中，筆者也將高一學生剛剛掌握的命題、充要條件等內容融入函數的奇偶性的教學，也不失為進行數學知識與認知結構的正確遷移的一個可行的嘗試.

（三）在問題引領下，調動學生的主動思維

上海“二期課改”以來，在高中階段使學生掌握一定的數學方法、形成一定的數學思想顯得愈發重要.這些數學方法與數學思想的建構都離不開學生的主動思維.學生的主動思維的發生，進而數學方法的習得與數學思想的形成都應該在問題的引領下.

美國數學家哈爾莫斯曾說過：“問題是數學的心臟.”問題能調動學生學習的積極性，驅動學生不斷反省，進而改善自己的認知結構.因此，本節課筆者設計了7個問題，層層深入、螺旋遞進地引導學生經歷完整的研究函數的奇偶性的過程，從中獲得證明數學問題的一般方法，提煉出最為精妙的數形結合、類比歸納、嚴謹推理的數學思維.endprint