基于GM（1，1）模型的線性函數(shù)變換及優(yōu)化研究

周力

【摘要】本文以優(yōu)化模型、改善模型的模擬、預(yù)測效果研究，重點引入線性變換，得到新的序列估算式，從而將GM（1，1）模型擴展為線性變換GM（1，1）模型，并進一步優(yōu)化背景值最佳生成系數(shù)，再擴展為加權(quán)灰色預(yù)測模型——RGM（1，1）.實例表明，盡管模擬序列特征改變，但是變換后的GM（1，1）模型能更好地預(yù)測原始數(shù)據(jù)的變化，能顯著地提升模型的預(yù)測精度.

【關(guān)鍵詞】離散GM（1，1）模型；模擬序列；線性函數(shù)變換；預(yù)測精度

1982年華中理工大學(xué)鄧聚龍教授創(chuàng)立了灰色系統(tǒng)理論，是一種研究少數(shù)據(jù)、貧信息不確定性問題的新方法.三十幾年來，引起了不少國內(nèi)外學(xué)者的關(guān)注，得到了長足的發(fā)展.目前，在我國已經(jīng)成為社會、經(jīng)濟、科學(xué)技術(shù)、高等教育等諸多領(lǐng)域進行預(yù)測、決策、評估、規(guī)劃控制、系統(tǒng)分析與建模的重要方法之一.特別是它對時間序列短、小樣本、貧信息不確定性系統(tǒng)的分析與建模，具有獨特的功效，因此得到了廣泛的應(yīng)用.在這里我們將重點對灰色系統(tǒng)建模、離散灰色預(yù)測模型進行研究.

在系統(tǒng)研究過程中，由于系統(tǒng)內(nèi)外擾動的存在和人類認識能力的局限，人們所獲得的信息往往帶有某種不確定性.隨著科學(xué)技術(shù)的發(fā)展和人類社會的進步，人們對各類系統(tǒng)不確定性的認識逐步深化，對不確定性系統(tǒng)的研究也日益深入.概率統(tǒng)計、模糊數(shù)學(xué)、灰色系統(tǒng)理論和粗糙集理論是四種最常用的不確定性系統(tǒng)研究方法，其研究對象都具有某種不確定性，這是它們的共同特點.灰色系統(tǒng)理論因能解決諸如模糊數(shù)學(xué)、概率統(tǒng)計等所不能解決的“小樣本、貧信息不確定”問題而廣泛應(yīng)用于橫斷學(xué)科，GM（1，1）模型也作為灰色系統(tǒng)理論重要內(nèi)容而廣泛應(yīng)用于動態(tài)預(yù)測領(lǐng)域.

一、灰系統(tǒng)的基本原理

在控制論中，人們常用顏色的深淺形容信息的明確程度.我們用“黑”表示信息未知，用“白”表示信息完全明確，用“灰”表示部分信息明確、部分信息不明確.相應(yīng)地，信息完全明確的系統(tǒng)稱為白色系統(tǒng)，信息未知的系統(tǒng)稱為黑色系統(tǒng)，部分信息明確、部分信息不明確的系統(tǒng)稱為灰色系統(tǒng).

灰色系統(tǒng)理論經(jīng)過30多年的發(fā)展，現(xiàn)已基本建立起一門新興學(xué)科的結(jié)構(gòu)體系.本文重點探討基于GM（1，1）模型所做出的定量預(yù)測及優(yōu)化.主要任務(wù)之一，就根據(jù)社會、經(jīng)濟、生態(tài)等系統(tǒng)的行為特征數(shù)據(jù)，尋找不同系統(tǒng)變量之間或某些系統(tǒng)變量自身的數(shù)學(xué)關(guān)系與變化規(guī)律.

灰色預(yù)測模型（Gray Forecast Model）是通過少量的、不完全的信息，建立數(shù)學(xué)模型并做出預(yù)測的一種預(yù)測方法.當我們應(yīng)用運籌學(xué)的思想方法解決實際問題，制定發(fā)展戰(zhàn)略和政策、進行重大問題的決策時，都必須對未來進行科學(xué)的預(yù)測.預(yù)測是根據(jù)客觀事物的過去和現(xiàn)在的發(fā)展規(guī)律，借助于科學(xué)的方法對其未來的發(fā)展趨勢和狀況進行描述和分析，并形成科學(xué)的假設(shè)和判斷.

二、灰生成技術(shù)

灰色系統(tǒng)基于序列算子的作用，通過對原始數(shù)據(jù)處理，挖掘其變化規(guī)律.這是一種就數(shù)據(jù)尋找數(shù)據(jù)的現(xiàn)實規(guī)律的途徑，稱為灰色序列生成.在預(yù)測科學(xué)領(lǐng)域，模型的優(yōu)劣取決于數(shù)據(jù)受到某種干擾而失真程度，而因此難以用模型來對系統(tǒng)的未來變化進行預(yù)測.實際問題中，總是存在大量的沖擊擾動系統(tǒng)，導(dǎo)致了定量預(yù)測結(jié)果與人們直觀的定性分析結(jié)論大相徑庭的現(xiàn)象經(jīng)常發(fā)生.因此，尋求定量預(yù)測與定性分析的結(jié)合點，設(shè)法淡化或消除系統(tǒng)行為數(shù)據(jù)所受到的沖擊擾動，還數(shù)據(jù)以本來面目，從而提高預(yù)測的命中率就變得尤為重要.

灰生成特點：在保持原序列形式的前提下，改變序列中數(shù)據(jù)的值與性質(zhì).一切灰色序列都能通過某種生成弱化其隨機性，顯現(xiàn)其規(guī)律性.

灰生成的作用：（1）統(tǒng)一序列的目標性質(zhì)，為灰決策提供基礎(chǔ)；（2）將擺動序列轉(zhuǎn)換為單調(diào)增長序列，以利于灰建模；（3）揭示潛藏在序列中的遞增勢態(tài)，變不可比為可比序列.

兩種常見的灰生成類型：（1）一次累加生成序列（1-AGO）；（2）均值生成序列（MEAN）.

三、GM（1，1）預(yù)測模型的建模機理

設(shè)離散數(shù)據(jù)序列為

其中，a，b為待識別參數(shù)，即灰參數(shù).a為發(fā)展系數(shù)，表示模型增長趨勢，若a<0，則其趨勢是增長的，其絕對值越大增長越快；若a>0則其趨勢是衰減的，其絕對值越大衰減越快.b為灰色作用量，是因子集的數(shù)字形式，表明外部因子作用的強弱，b的變化代表變形模式的變化.等式（3.4）相應(yīng)的白化一階微分方程，也叫影子方程為

四、檢驗GM（1，1）模型的精度

當采用GM（1，1）模型的各種形式進行模擬精度均達不到要求時，可以考慮對殘差序列建立GM（1，1）模型，對原來的模型進行修正，以提高模擬精度.如果檢驗合格，則可以用模型進行預(yù)測.

GM（1，1）模型是灰色模型中最常見也是最基礎(chǔ)的預(yù)測模型，其應(yīng)用非常廣泛.但是，在某些特定情況下其預(yù)測精度相對較差，預(yù)測數(shù)據(jù)誤差有時非常大.本文重點分析基于線性變換得到的GM（1，1）模型，指出提高預(yù)測精度的直接原因并不是提升數(shù)據(jù)的光滑度，而是對模擬序列經(jīng)過了變換，不再是純指數(shù)序列，轉(zhuǎn)換成一個非齊次指數(shù)序列，當原始數(shù)據(jù)與這個非齊次指數(shù)序列兩者越是相近，所得模型的預(yù)測精度自然也就越高.為此我們獲得了這個序列的直接離散GM（1，1）模型及以加權(quán)緊鄰值拓展建模，并用實例分析預(yù)測精度的改變.

五、線性函數(shù)變換GM（1，1）建模方法

（一）線性變換的模型建立

設(shè)原始數(shù)據(jù)的序列表達為

當k=2，3，…，n時，代入可得到初始數(shù)據(jù)的擬合值；當k>n時，便是灰色模型對未來的預(yù)測值.

而對于線性變換式中的α，β有非常多的求解思路，可以通過遺傳算法，也可以以變換后模型的平均相對誤差函數(shù)最小作為目標，通過MATLAB編程序用[9]修正的最速下降法可求出平均相對誤差的最小值，同時可得到α，β的近似值.

（二）模型提高預(yù)測精度的本質(zhì)分析endprint

1.光滑度分析

許多研究實例表明，原始數(shù)據(jù)序列的光滑度影響所建灰色預(yù)測模型的擬合和預(yù)測精度.但是在實際問題中許多原始數(shù)據(jù)序列的光滑度比較低，這就限制了灰色GM（1，1）模型的使用范圍.為了提高灰色預(yù)測模型的預(yù)測精度，有的研究文獻提出了對原始數(shù)據(jù)進行對數(shù)函數(shù)變換、冪函數(shù)變換以及指數(shù)函數(shù)變換來提高離散數(shù)據(jù)序列光滑度的方法，并在實際應(yīng)用中取得了滿意的效果.提高光滑度的函數(shù)變換方法有很多，常見的有冪函數(shù)-指數(shù)函數(shù)變換、指數(shù)函數(shù)變換、對數(shù)函數(shù)-冪函數(shù)函數(shù)變換三種.也有文獻對這幾類函數(shù)變換后所得的GM（1，1）模型預(yù)測精度進行了對比，光滑度提高從大到小為冪函數(shù)-指數(shù)函數(shù)變換、指數(shù)函數(shù)變換、對數(shù)函數(shù)-冪函數(shù)變換，但是函數(shù)變換后GM（1，1）模型的預(yù)測精度從大到小則為對數(shù)函數(shù)-冪函數(shù)變換、指數(shù)函數(shù)變換、冪函數(shù)-指數(shù)函數(shù)變換，剛好與光滑度的提高相反.說明提高光滑度和模型預(yù)測精度并無直接關(guān)系.

2.模型模擬序列分析

從式（5.1）對原始數(shù)據(jù)的計算結(jié)果可知：

從這個式子可以看出，模擬序列經(jīng)過了變換，不再是純指數(shù)序列，轉(zhuǎn)換成一個非齊次指數(shù)序列，而原始數(shù)據(jù)的發(fā)展越接近這個非齊次指數(shù)發(fā)展，因此經(jīng)過線性函數(shù)變換后所得到的GM（1，1）模型的擬合精度自然也就越高.

六、構(gòu)建直接離散GM（1，1）模型

（一）均值GM（1，1）模型的遞推

均值GM（1，1）模型的白化微分方程的時間響應(yīng)式為

不難看出兩者還是存在一定差距的，差值為Δ，差別的存在也說明上述求得的白化型響應(yīng)式與對應(yīng)的灰微分方程的真正解還有一定的差距，通過最小二乘法進行估計所得到的真實“最小”結(jié)果也不是其真實解，模型經(jīng)過白化處理后，其求解過程出現(xiàn)了一定的誤差Δ，所以為了在計算中規(guī)避這個誤差，在進行構(gòu)建GM（1，1）模型時直接將遞推所得結(jié)果式（6.2）作為其最終預(yù)測式.

（二）直接離散GM（1，1）模型的建立

GM（1，1）模型和離散GM（1，1）模型兩者的模擬序列都是指數(shù)序列，因此其在評估模型時就需要原始序列數(shù)據(jù)呈現(xiàn)一個指數(shù)型的增長模式，但是在現(xiàn)實世界獲取的數(shù)據(jù)中，所獲取的原始序列并不是近似指數(shù)增長，其增長和變化的規(guī)律更加接近于非齊次指數(shù)，從GM（1，1）白化型響應(yīng)式的計算中也知道原始數(shù)據(jù)的累加值就滿足了這一點，所以本文結(jié)合原始數(shù)據(jù)累加值進行了分析，并以此為基礎(chǔ)構(gòu)建了轉(zhuǎn)換的直接離散GM（1，1）模型，思路和方法為：

（三）對直接離散GM（1，1）模型進一步優(yōu)化的方法

直接離散GM（1，1）模型是能夠?qū)崿F(xiàn)和非齊次指數(shù)序列完全擬合的，但是如果原始數(shù)據(jù)更加接近于一個非齊次指數(shù)序列，在這種情況下最優(yōu)化的結(jié)果并不是這個直接離散GM（1，1）模型.GM（1，1）模型以固定的背景值（1-AGO的緊鄰均值）為基礎(chǔ)建模，并假設(shè)緊鄰均值前值和后值對背景值的貢獻是等權(quán)的，研究發(fā)現(xiàn)這種背景值構(gòu)造方法并不能準確反映背景值對整個預(yù)測模型的影響.可考慮改取平均值為取緊鄰加權(quán)值：

其中，p，q為背景值生成系數(shù)加權(quán).然后從預(yù)測和模擬精度出發(fā)，確定各個參數(shù)的最佳估值，進行模型的精度分析與預(yù)測.可分別取p=0.01，q=0.01雙雙按照0.01遞增，直到取值為0.99結(jié)束，依次求出對應(yīng)p，q狀態(tài)下的平均模擬相對誤差，取其中最小的平均模擬相對誤差對應(yīng)的權(quán)值建立模型進行模擬和預(yù)測分析.

按照GM（1，1）模型的建模思路和方法即可得到其加權(quán)形式基礎(chǔ)上的GM（1，1）模型，稱為RGM（1，1），而這個模型的直接響應(yīng)式即為

另外，加權(quán)的權(quán)重變化也會影響其最小二乘法的計算結(jié)果，同時也會影響參數(shù)的值，所以加權(quán)值不同，其預(yù)測精度自然也是不同的.初始值的優(yōu)化是必需的處理過程，但是要知道初始值優(yōu)化和權(quán)值優(yōu)化并不是相對獨立的，而是相互影響和相互制約的，因此必須實現(xiàn)同步優(yōu)化從而得到最小的殘差平方和結(jié)果.為此參考了模式搜索法對其進行了優(yōu)化，優(yōu)化的方式是在原式中添加修正項：

七、實例驗證分析

這里以某市2003—2012年市均醫(yī)院床位數(shù)（萬張）進行建模，并預(yù)測其在2013年和2014年的市均醫(yī)院床位數(shù).基于GM（1，1）建立模型，對其變換所得到的GM（1，1）模型的預(yù)測精度進行分析，通過模式搜索法以及優(yōu)化后的直接離散GM（1，1）模型可以求解得出p，q和β的值：

從這個表中我們可以知道，平均相對誤差的值最高的是GM（1，1）模型，為2.16%，其次分別是線性函數(shù)變換模型0.62%和RGM（1，1）模型1.22%.從不同模型的預(yù)測值結(jié)果來看，線性函數(shù)的預(yù)測精度并不比其他兩種模型低，而一個模擬序列和經(jīng)過線性函數(shù)變換后獲得的GM（1，1）模型有著一個共同點，即兩者同為非齊次指數(shù)序列，且直接離散GM（1，1）模型并沒有修改任何數(shù)據(jù)，也就是說沒有對原始數(shù)據(jù)做任何改動反而得到了和一次函數(shù)變換后GM（1，1）模型同樣的預(yù)測精確度，驗證了要想提高模型的預(yù)測精度必要條件并不一定是提高數(shù)據(jù)的光滑度，相反改變模擬序列的特征，并讓模擬序列與原始數(shù)據(jù)的變化規(guī)律更相近，對于提高模型預(yù)測精度的意義更大.

八、結(jié) 語

通過對優(yōu)化模型、改善模型的模擬、預(yù)測效果，我們從模擬序列的角度對線性函數(shù)變換后的GM（1，1）模型預(yù)測精度進行了分析，并對其預(yù)測精度的提升本質(zhì)原因進行了計算和驗證，結(jié)果顯示提高精度的本質(zhì)過程是模擬序列轉(zhuǎn)變成了一個純指數(shù)序列，正是由于這個轉(zhuǎn)變提升了模型的預(yù)測精度.同時，對直接離散GM（1，1）模型的建立進行了分析和討論，直接離散GM（1，1）同樣也是一個非齊次指數(shù)序列，但是并沒有對原始數(shù)據(jù)做任何的修改，卻獲得了相同的預(yù)測精度，即要想提高模型的預(yù)測精度必要條件并不一定是提高數(shù)據(jù)的光滑度，相反改變模擬序列的特征，并讓模擬序列與原始數(shù)據(jù)的變化規(guī)律更相近，對于提高模型預(yù)測精度的意義更大，為實際建模過程提供了多種可能的選擇.endprint

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