非標準有限差分的乙肝病毒擴散模型的穩定性分析與數值模擬

紀恩懷+蘇永美

【摘要】本文考慮到乙肝病毒在細胞之間的擴散特性，提出了一個改進的乙肝病毒擴散模型，并將模型轉換為非標準有限差分的方程，求出了模型的平衡點，分析了該方程的全局穩定特性.最后給出了數值模擬，模擬結果顯示了擴散在病毒傳播中的作用.

【關鍵詞】乙肝病毒；擴散；非標準有限差分法；全局穩定性

乙型肝炎（Hepatitis B）是一種肝細胞遭到病毒感染后導致的肝臟疾病，是目前危害人類健康的重要傳染病之一，呈世界性分布，流行面廣，在處置不恰當時可能會導致肝癌等多種疾病的發生[1，2].近年來，關于病毒感染的數學模型的研究越來越得到重視.一方面，關于病毒動力學的分析可以指導設計更有效的治療方案以控制感染[3].另一方面，對數學模型的模擬結果也可以為病毒感染過程中出現的現象提供合理的解釋.

1996年Nowak等[4]提出了宿主體內病毒感染基本模型.它被廣泛用于研究病毒（如，HBV、HCV和HIV等）感染動力學.該模型的形式為

基于模型（1）和模型（2），許多動力學模型被建立起來用以描述乙肝病毒在人體中的感染過程.但這些模型大多將肝臟作為一個整體，只考慮到感染細胞、未感染細胞與病毒數的變化，未考慮到肝臟的空間特性，其實肝細胞之間也會相互擴散感染從而造成病毒感染情況的變化.

Hattaf在此之上建立了考慮發病率、免疫延遲的擴散綜合模型：

但模型中只考慮了病毒的擴散，沒有考慮到未感染細胞和感染細胞的擴散.

這些數據的變化也不是連續的，所以要更準確地描述HBV病毒的發病機理和免疫學原理，基于臨床治療數據，建立描述感染后HBV病毒、CD4+T細胞、免疫應答和藥物治療相互作用的動力學模型，離散的模型應該更符合實際.將已有的連續模型采用歐拉向前或向后差分的方法離散化也是一種建立離散模型的方法.

一、穩定性分析

二、結 論

本文引進了乙肝病毒感染過程中病毒與感染細胞擴散的模型，未病平衡點與已病平衡點在存在擴散的狀態下依然可以保持全局漸進穩定的特性，通過非標準差分法可以數值模擬其擴散變化.通過觀察擴散狀況數值模擬，可以看到已病平衡點終將在感染細胞、未感染細胞與自由病毒的擴散與相互作用下達到感染范圍內的平衡狀態.

【參考文獻】

[1]CIUPE S，RIBEIRO R，NELSON P，et al.Modeling hepatitis C virus dynamics：liver regeneration and critical drug efficacy[J].J.Theor.biol.，2007，247（2）：371-381.

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[3]LEWIN S，WALTERS T，LOCANINI S.Hepatitis B treatment：rational combination chemotherapy based on viral kinetic and animal model studies [J].Antiviral Research，2002，55（3）：381-396.

[4]Nowak M A，BONHOEFFER S，HILL A M，et al.Viral dynamics in hepatitis B virus infection[J].Proc.Natl.Acad.Sci.USA，1996，93（9）：4398-4402.

[5]LEENHEER P D，SMITH H L.Virus dynamics：A global analysis [J].SIAM Journal on Applied Mathematics，2003，63（4）：1313-1327.endprint