“非對等信息”學習材料：促進數學思考不可或缺的有效載體

邵珠利

【摘 要】在日常教學中，教師所呈現給學生的都是“對等信息”的學習材料，它是學生數學學習必不可少的有效載體，無論是教師，還是學生，都已經習慣并熟悉了這樣的學習材料。而“非對等信息”學習材料設計與使用較少，其實“非對等信息”學習材料能夠打破學生習以為常對于“對等信息”學習材料思考的慣性，它更多指向“開放”與“多元”的數學思考，也是促進學生數學思考不可或缺的有效載體。“非對等信息”學習材料的設計與使用策略可以從變觀察為探索、變應用為設計、變發現為建構三個方面著手。

【關鍵詞】非對等信息 學習材料 策略

在日常教學中，我們呈現給學生的都是“對等信息”的學習材料，它是學生數學學習必不可少的有效載體，無論是教師，還是學生，都已經習慣并熟悉了這樣的學習材料。而“非對等信息”學習材料設計與使用較少，其實“非對等信息”學習材料能夠打破學生習以為常對于“對等信息”學習材料思考的慣性，它更多指向“開放”與“多元”的數學思考，也是促進學生數學思考不可或缺的有效載體。

一、“非對等信息”學習材料的內涵及意義

（一）“非對等信息”學習材料的內涵

“非對等信息”學習材料是相對“對等信息”學習材料而提出的。“對等信息”學習材料是一次性提供給學生完整的條件信息，并且題目要求及所求問題十分明確，學生可以根據所提供的完整條件信息，按照明確的要求運用所學數學知識進行運算或解決問題，即“條件信息”與“問題解答”之間是對等的。而“非對等信息”學習材料則是提供給學生不完整的條件信息或提供給學生開放的條件信息或題目要求不明確等，制造出“條件信息”與“問題解答”之間不對等的現象，從而使學生在解答問題時所運用的策略、方法或所得到的答案更加“開放”與“多元”。

（二）“非對等信息”學習材料的意義

由于受傳統數學教學的影響，在日常教學中，我們所呈現給學生的幾乎都是“對等信息”的學習材料，無論是教師，還是學生，都已經習慣并熟悉了這樣的學習材料，而“非對等信息”學習材料設計與使用寥寥無幾。其實“非對等信息”學習材料能夠打破學生習以為常對于“對等信息”學習材料思考的慣性，它更多指向“開放”與“多元”。因此兩類學習材料在學生數學學習過程中均不可或缺，相得益彰。當學生面對“非對等信息”學習材料時需要綜合所學知識才能做出分析與判斷，因此要求學生具有更強的思考能力，從某種意義上說，“非對等信息”學習材料更能有效促進學生數學思考。

二、“非對等信息”學習材料的設計與使用策略

既然“非對等信息”學習材料能夠打破學生習以為常對于“對等信息”學習材料思考的慣性，它更多指向“開放”與“多元”，那么在日常教學中如何有效設計與使用呢？下面結合幾個案例進行闡述。

（一）變觀察為探索：讓學生從被動觀察者變為主動探索者

直接呈現“對等信息”學習材料，引導學生發現學習材料中所蘊含的數學規律或數學知識，這是日常教學中經常采用的方式。其實在教學中也可以只呈現部分學習材料，在此基礎上引導學生探索所呈現的部分學習材料與所要解答問題之間的關聯，促進學生自主探究。

【案例1】五（下）第一單元“觀察物體（三）”中的習題。

筆者認為直接一次性呈現如上題所示的“對等信息”學習材料，讓學生通過觀察然后動手擺出這個圖形，對于學生積累觀察物體的經驗以及空間觀念的培養不夠落地，于是筆者對原學習材料進行如下設計使用：

【環節1】只出示從上面看到的圖形（圖1），思考：搭成這樣的圖形最少（ ）塊。想好后動手拼擺。

【環節2】在環節1的基礎上再出示從正面看到的圖形（圖2），思考：搭成這樣的圖形最少（ ）塊。再動手操作、驗證。

【環節3】最后在以上兩個環節的基礎上出示從左面看到的圖形（圖3），思考：搭成這個圖形最少（ ）塊。再動手操作、驗證。

以上三個環節將原本“對等信息”的學習材料肢解為“非對等信息”的學習材料，在環節1與環節2中學生無法得到準確答案，因為答案多元，只有在環節1、環節2的基礎上，再開展環節3的活動才能做出準確判斷。通過三個相關環節的操作活動，促使學生將想的過程與擺的過程相結合，雖提高了操作難度，但對學生空間觀念的培養起到了積極的促進作用。

觀察是對“對等信息”學習材料的靜態分析，可以培養學生觀察現象、發現規律以及合情推理等能力，但由于觀察更多的是靜態的過程，所以不利于促進學生深入思考與有效探索。將“對等信息”學習材料轉換成“非對等信息”學習材料后，學生要對這些“非對等信息”學習材料進行分析與判斷，在此基礎上還要進一步探索“非對等信息”學習材料與所研究問題之間的關聯，它所關注的是學生的過程性探索，而不僅僅是思考的結果。

（二）變應用為設計：讓學生從單純“做題者”轉變為習題開發“參與者”

《義務教育數學課程標準（2011年版）》指出：數學思考才是數學教學中最有價值的行為。題型模仿、類型強化、技能訓練在教學中也需要去做，但是這些訓練如果離開了數學思考而僅是一種機械訓練，那就失去了意義。因此，數學思考是學生進行數學學習的核心，是數學課堂教學中最需要做的事。從某種意義上說，“非對等信息”學習材料更能有效促進學生進行數學思考。

1.將指令性要求轉變為自主性選擇，讓學生自主決斷

【案例2】簡便計算（人教版四年級下冊“運算定律”中學習了“乘法分配律”后的練習題）。

用乘法分配律計算下面各題。

103×12 20×55 24×205

【案例剖析】原習題是“對等信息”的學習材料，題目要求明確：用乘法分配律進行計算。對于學生而言，解答此題方向非常明確，只要考慮如何將這些習題轉換成如乘法分配律的形式，進而計算即可。雖然在剛剛學習了乘法分配律后安排這樣的練習對于學生理解和掌握乘法分配律大有幫助，但類似這樣的“對等信息”學習材料易導致學生模仿與記憶，看似為學生指明了簡便計算的方向，實則大大限制了他們的思維空間。

基于以上思考，筆者對習題進行如下設計。這樣改編以后，學生失去了明確的計算方向，要自己進行判斷，選擇合適的計算方法。

計算下面各題，怎樣簡便就怎樣算。

①103×12 ②20×55 ③24×205

因為剛剛學習了乘法運算定律，所以學生普遍采用了乘法結合律或乘法分配律進行簡算。

從學生的做法可以看出，因為將指令性要求變成了自主性選擇，所以學生的思維更開闊了，他們會根據自己的理解選擇合適的方法解題，運用乘法運算定律進行簡算的過程中學生不但更加深入地理解了乘法的運算定律，而且在比較各位同學不同方法的過程中進一步明晰了乘法運算定律的異同。

指令性要求便于學生在明確的要求下實施有效操作，但缺點是容易框住學生思維，而自主性選擇把主動權還給了學生，他們完全可以根據自己的理解創造性地解決問題。

2.將解答習題過程轉變為研討方案與策劃設計的過程，讓學生成為主動參與者

【案例3】組合圖形的面積計算（人教版五年級上冊“多邊形的面積”單元中的練習題）。

【案例剖析】該習題是典型的“對等信息”學習材料。如果僅僅是為了計算圖形的面積，學生根據題中所給數據可以直接進行計算。主要有三種方法：

方法一：縱向分割得長方形+梯形，（5+10）×（12-6）÷2+5×6

方法二：橫向分割得長方形+三角形，5×12+（12-6）×（10-5）÷2

方法三：補全相減得長方形-梯形，12×10-（6+12）×（10-5）÷2

應該說如果學生能夠考慮到這三種方法并正確解答，說明學生已經對多邊形面積計算掌握得非常好了。但筆者認為，此“對等信息”學習材料雖然能夠考察學生空間觀念，但因為提供了全部數據信息，所以最終落腳點還是應用公式計算，而不是解題方法的策劃。

基于以上分析，筆者進行了改編（圖4），不提供任何數據信息，只呈現圖形。

【話題1】要計算該圖形面積，你有幾種方案？分別涉及哪些平面圖形的面積計算？

【話題2】如果要計算出這個圖形的面積，你認為至少需要幾個數據？請你標出需要的數據并依此進行計算。

改編后的習題就是筆者文中講到的“非對等信息”學習材料。對于“話題1”不需要學生進行具體計算，重點關注的是學生解決問題的思路與方法，是策劃解題方案的過程。同時在策劃解題方案的過程中，也有效地復習回顧了相關平面圖形的面積計算問題。

“話題2”則進一步把計算面積的主動權還給了學生。但想要計算出這個圖形的面積也非易事，學生要有較強的整體觀察與思考能力，相當于要自己設計所需數據，再據此進行計算，全方位促進了學生的數學思考。

提供“對等信息”的學習材料，讓學生解答相應習題，學生更多處于操練層面，一味呈現這種形式的學習材料，容易導致學生形成思維定勢，不利于學生從數學知識的結構上對數學習題本原進行思考。而“非對等信息”學習材料有利于打破學生形成的思維定勢，開拓學生視野，讓學生不再充當做題的機器，而讓學生成為習題設計與開發的主動參與者。

（三）變發現為建構：讓學生從被動接受者變為主動建構者

【案例4】軸對稱（人教版四年級下冊第七單元第82頁至第83頁“圖形的運動”第一課時）。

【教學方案1】

首先呈現“對等信息”學習材料（例1），引導學生觀察發現：對稱點到對稱軸的距離相等、對稱點的連線與對稱軸互相垂直兩條重要性質。

然后利用得到的兩條重要性質完成例2及相應練習。

【教學方案2】

呈現“非對等信息”學習材料（小樹的一半）。

首先獨立補全小樹的另一半，學生在補全另一半的過程中，不自覺地運用了對稱點到對稱軸距離相等以及對稱點的連線與對稱軸互相垂直這兩條重要性質，而此時學生對這兩條性質的認知只不過是一種無意識的狀態，并不十分清晰。

然后采用小組合作討論的形式，說說各自是怎樣補全另一半的，在這個討論、交流的過程中，逐漸清晰了對對稱點到對稱軸距離相等以及對稱點的連線與對稱軸互相垂直這兩條重要性質的認知。

最后利用這兩條重要性質完成相應練習。

【案例剖析】

教學方案1遵循觀察—發現—應用的教學思路，學生主體地位不明顯，學生的思維處于淺層次水平；而教學方案2遵循嘗試—探究—發現—應用的教學思路，體現了“做中學”思想，學生是主動的建構者，學生的思維位于較高層次水平。

“對等信息”學習材料往往會削弱學生的主體地位，學生可以通過直觀觀察、直接運用所學知識便能比較容易地解決問題；而“非對等信息”學習材料則會大大加強學生的主體地位，這樣的學習材料會使學生更主動地思考學習材料的內在結構，可以有效促進學生進行數學思考，提升學生的數學素養。

三、“非對等信息”學習材料使用時需要注意的問題

“非對等信息”學習材料是學生數學學習材料中不可或缺的重要部分，但因小學生的認知特點及小學數學知識的結構特點，所以在日常教學中設計與使用“非對等信息”學習材料時需要注意以下三點問題：

1.所提供給學生的學習材料應以“對等信息”學習材料為主，以“非對等信息”學習材料為輔，二者相輔相成、相得益彰。

2.在提供“非對等信息”學習材料時，應特別加強對學困生的指導與幫助。

3.針對“非對等信息”學習材料的組織學習，要特別強調學生的自主探究，發揮學生的主觀能動性，突出學生的主體地位。

“非對等信息”學習材料有利于打破學生習以為常對于“對等信息”學習材料思考的慣性，它更加指向“開放”與“多元”的數學思考，與“對等信息”學習材料相輔相成、相得益彰，是促進學生數學思考不可或缺的有效載體。那么，就讓我們在日常教學中重視設計與使用“非對等信息”學習材料吧！

（浙江省杭州市拱墅區大關小學 310011）