多元表征學習：讓數學學習深度發(fā)生

席愛勇

【摘 要】數學多元表征學習是基于學生認知規(guī)律，科學利用學生認知規(guī)律，組織引導學生進行數學深度學習的學習方式，其本質內涵是將數學學習對象進行心理多元認知編碼并與之建立對應、建構意義聯(lián)系，其認知心理機制是建構“內化—聯(lián)系—外化”的數學深度學習生態(tài)循環(huán)系統(tǒng)。在實踐層面，教師要注重數學學習對象多樣化呈現，促進數學知識的多元建構；注重數學內在表征的多元聯(lián)系，促進數學表征的轉換轉譯；注重數學內在表征的多元外化，促進數學思維的可視可感，讓學生的數學學習深度發(fā)生，從而實現學生數學核心素養(yǎng)的整體提升和拔節(jié)生長。

【關鍵詞】多元表征 深度發(fā)生 本質內涵 心理機制

《義務教育數學課程標準（2011年版）》（以下簡稱《課標》）明確指出：“課程內容要反映社會的需要、數學的特點，要符合學生的認知規(guī)律。”學生的認知規(guī)律到底有哪些？課程內容怎樣安排才能符合學生的認知規(guī)律？如何利用學生的認知規(guī)律科學有效地引導學生進行數學學習？……凡此種種，《課標》都沒有給出明確答案，需要我們在教學實踐中去探索、去研究、去反思。

近些年來，歐美一些國家小學數學課堂廣泛開展數學多元表征學習，給我們研究學生的數學認知心理提供了一條可行的路徑。

一、數學多元表征的本質內涵

《辭海》（2009年版）對“表征”解釋為“揭示；闡明。……也指事物顯露在外的征象”。即表征有兩層含義，作為動詞，表示對事物本質的揭示和闡明；作為名詞，表示事物顯示出來的現象，表現出來的特征。因此，表征作為認知心理學的一個核心概念，指客觀認知對象在心理活動中的表現和記載的方式，既是認知活動的過程，也是認知活動的結果。

數學多元表征就是將數學學習對象進行心理多元認知編碼并與之建立對應、建構意義聯(lián)系的過程。數學多元表征分外在表征和內在表征兩種類型，外在表征是指以語言、文字、符號、圖片、具體物、活動或實際情境等形式存在的表征。一般而言，外在表征不是文字符號就是圖形符號，其中文字符號的表征較為抽象，它所表征的信息可以從任何知覺形式中取得，我們把這種表征稱為“敘述性表征”；而圖形符號較為具體，雖然也能從任何知覺形式中取得，但與視覺的關聯(lián)性較強，因此圖形表征也叫視覺化表征或描繪性表征。內在表征是指存在于個體頭腦里而無法直接觀察的心理表征。內在表征也有不同的形式，有些表征是個別的、外顯的，能根據規(guī)則加以組合的，以及較為抽象的形式；有些則不是個別的，以內隱的方式表征各種事物，具有寬松的組合規(guī)則，以及較為具體的形式。

二、數學多元表征學習的心理機制

數學多元表征學習就是基于數學多元表征的數學學習，其認知心理機制可以用圖1表述。

從圖1可以看出，教師將數學學習對象以言語信息（口語、文字、符號）和非言語信息（實物、模型、圖片、情境、活動）形式呈現給學生，進行表征性加工（內化），言語信息以言語碼形式進入學生的言語系統(tǒng)，非言語信息以心象碼形式進入學生的非言語系統(tǒng)，新碼在系統(tǒng)內與學生系統(tǒng)內原有的舊碼進行聯(lián)想性加工，實現系統(tǒng)內信息相互轉換，建構意義聯(lián)系，同時在系統(tǒng)間進行參照性加工，實現系統(tǒng)間信息相互轉譯，建構意義聯(lián)系，最后，學生再以言語信息和非言語信息形式外顯出來（外化）。數學多元表征學習的“內化—聯(lián)系—外化”構成了學生數學深度學習的生態(tài)循環(huán)系統(tǒng)。

三、數學多元表征學習的實踐策略

（一）注重數學學習對象多樣化呈現，促進數學知識的多元建構

數學學習對象包括數學概念、命題、關系、運算和問題解決等，呈現方式要多樣化，既要有言語文字的，也要有直觀圖形的，還要有數字符號的，這樣才能凸顯數學學習對象的多元屬性，便于學生進行數學信息的多通道輸入，實現數學知識的多元表征，數學意義的多元建構。

例如，“偶數”這個概念可以有如下幾種呈現方式（如表1）。

以圖形和動畫的形式呈現偶數概念，學生就會在頭腦中建構偶數的形表征：可以2個一組2個一組地畫出來的。偶數的圖形表征給學生建構偶數的文字表征“是2的倍數的數”“能被2整除的數”以及符號表征“2a” 一個感性經驗支撐，便于學生理解偶數的本質內涵，實現其意義建構。以數據列舉的形式呈現偶數概念，學生就會在頭腦中建構偶數的數表征，便于學生發(fā)現偶數的外部特征：個位上是2，4，6，8，0，理解偶數概念的外延，實現其意義建構。

當然，數學學習對象的呈現方式也并非越多越好，各種呈現方式要做到既能互相補充，互相解釋，也要做到本質內涵的內在一致，相互融合，這樣才能做到既不增加學生的認知負荷，又能對數學學習對象有一個全面的認識和深刻的理解，實現數學知識的多元表征，數學意義的多元建構。

（二）注重數學內在表征的多元聯(lián)系，促進多元表征的轉換轉譯

抓住數學表征內在的多元聯(lián)系，實現數學各種表征內部的靈活轉換和表征之間的靈活轉譯，是學生形成數學知識的整體結構和意義表征，促進數學知識靈活提取和實踐應用，實現轉識成智的重要標志。

例如，下面三幅圖（如圖2），盡管桃子的總數不同，涂色桃子的數量也不同，但都能用[23]表示涂色桃子數占桃子總數的幾分之幾，這就需要學生在圖形表征系統(tǒng)內部進行轉換，即把桃子總數看作單位“1”，平均分成3份，其中2份就是桃子總數的[23]。當然，在這個過程中，也包含將圖形表征轉譯成言語符號表征[23]的過程。

可見，讓學生不斷加強同類表征系統(tǒng)內部的轉換和不同類型表征系統(tǒng)間的轉譯，有利于培養(yǎng)他們對數學的深度理解能力和靈活綜合思維能力，提升他們的數學綜合素養(yǎng)。

（三）注重數學內在表征的多元外化，促進數學思維的可視可感

如果說數學理解是數學學習不斷內化并建構聯(lián)系的過程，那么數學表達就是數學學習不斷外化并進行實踐應用的過程。數學多元表征，不僅要注重數學學習的內化，建構數學內在表征的聯(lián)系，也要注重數學學習的外化，讓學生的數學內在表征和數學思維過程可視可感，有利于發(fā)展學生數學思維表達和實踐綜合應用的能力。

例如，筆者在執(zhí)教蘇教版六年級上冊“解決問題的策略——假設”例1時（如圖3），放手讓學生表示出自己的想法和解答過程。

有的學生用模擬圖表征，具體直觀形象；有的學生則用線段圖表征，其思維抽象水平就要高于用模擬圖表征的學生。有的學生用分數的思想列式解答，有的學生用比的思想列式解答，還有的學生用方程的思想列式解答。筆者讓他們分別把自己的想法和解法畫出來、寫出來（如圖4、圖5、圖6）。

從圖4的模擬圖形和算式表征中，我們不難看出學生的思維過程：把大杯容量看作單位 “1”，小杯容量就是[13]，6個小杯可以換成[13]×6=2（個）大杯，這樣720毫升的果汁就相當于倒?jié)M3個大杯，用720÷3就可以求出大杯的容量，小杯容量也就迎刃而解了。從圖5的模擬圖形和算式表征中，我們可以看出學生是把“小杯容量是大杯的[13]”轉化成“大杯與小杯容量之比是3︰1”，即1個大杯可以換成3個小杯，這樣720毫升的果汁就相當于倒?jié)M9個小杯，用720÷9就可以求出小杯的容量，大杯容量也就順利解決了。從圖6的線段圖形和算式表征中，我們可以看出學生是把大杯容量設為x毫升，則小杯容量就是[x3]毫升，用列方程順利解決問題。

同樣的問題，不同的學生表征出來的形式是不同的，從中可以看出學生不同的認知風格和思維水平。

總之，數學多元表征學習的過程就是將客觀數學學習對象與學生心理認知系統(tǒng)建立多元化對應關系的過程。在內容上，數學多元表征的豐富性和相互聯(lián)系性構成了數學學習對象的網絡結構；在方法上，數學多元表征間的轉換或轉譯構成了數學學習中邏輯思維與非邏輯思維的互補；在過程上，數學多元表征的“內化—聯(lián)系—外化”構成了數學學習的生態(tài)循環(huán)系統(tǒng)。數學多元表征的網絡結構、互換互譯、內外循環(huán)讓學生的數學學習深度發(fā)生，有力地促進學生進行數學理解、意義建構、數學思維和實踐應用，從而實現學生數學素養(yǎng)的整體提升和拔節(jié)生長。

參考文獻：

[1]唐建嵐.數學多元表征學習及教學[M].南京：南京師范大學出版社，2009.

[2]鮑建生，周超.數學學習的心理基礎與過程[M].上海：上海教育出版社，2009.

[3]（美）戴爾·H.申克著，韋小滿譯.學習理論[M].南京：江蘇教育出版社，2009.

[4]鄭毓信.多元表征理論及概念教學[J].小學數學教育，2011（10）.

（江蘇淮安工業(yè)園區(qū)實驗學校 223008）