初中數學實驗須建立整體認知

秦愛東

[摘 要] 在數學實驗被提出之后，初中數學教師對其理解呈現出一定程度上的片面性，如認為數學實驗應當側重于“做”等，這凸顯出數學實驗整體認知建立的必要性. 從實驗順序與功能角度建立數學實驗的基本理解，并在此基礎上認識到數學實驗應當是“思”與“做”相結合的產物，尤其是建立數學實驗服務于學生數學知識建構的認識，是整體認知的基本含義.

[關鍵詞] 初中數學；數學實驗；整體認知

作為一種新的促進數學知識構建的方式，數學實驗正成為當前初中數學課堂上的一道亮麗風景線. 既然稱之為“實驗”，那肯定是具有操作性的，既然是“數學實驗”，那一定是具有數學特征的. 從當前實際教學來看，目前數學課堂上的實驗更多的還是基于對自然學科實驗的理解，強調在“做”的過程中讓學生生成對數學知識的理解，這樣的思路是對的，但實際在學生做的時候，往往由于教學理念的偏差，如試圖通過數學實驗來讓課堂氣氛活躍一些，或者讓觀摩聽課者感受課堂所謂的“靈動性”，導致數學實驗并沒有發揮其應有的功能. 從最本質的角度講，這說明數學實驗的整體認知在教師的認知當中是模糊的. 也正是基于對這一問題的思考，筆者嘗試從一個一線教師的角度來探究初中數學實驗的整體認知. 考慮到一線教師對教學方式實用性的追求，筆者更傾向于從“操作性”角度切入對本問題的思考.

從實驗順序與功能的角度建構數學實驗理解

在2011年版《義務教育數學課程標準》提出數學實驗是學生數學學習的重要方式之一之后，對數學實驗的理解與定義雖然形式有所不同，但實質基本是趨同的，這樣的共識為數學實驗的運用奠定了基礎.

而從教學實際來看，簡單的“做”盡管可以讓學生增強興趣，讓課堂氣氛熱鬧起來，但這樣實驗對學生建構數學知識的作用有時并不像教師期待的那樣明顯，甚至還會出現“勞而無功”的現象. 究其原因，正在于教師對數學實驗的膚淺理解，造成了學生在實驗的過程當中其實并無清晰的思維主線，這顯然并非實驗教學的初衷. 因此，必須從實驗順序與功能的角度建構起對數學實驗的理解.

實驗一定是有順序的，這個順序是思維的產物，在具體的實驗過程中就變成了實驗的步驟. 步驟是否順當，反映了實驗順序是否合理，進而反映了學生的數學思維是否清晰，其直接決定了數學實驗能否有效地催生數學知識的建構. 而教師以及學生對實驗功能的理解與定位，則決定了實驗在課堂上是作為目的而存在，還是作為手段而存在. 顯然，我們是傾向于后者的，因為數學實驗本身只是促進數學知識形成的一種手段.

數學實驗的順序大抵應當是這樣的：首先，明確實驗方向；其次，細化實驗步驟，進行變量控制；第三，完成實驗；第四，分析實驗現象與結果，得出相關的數學結論；第五，評估實驗. 下面以探究“圓周角與圓心角的關系”為例，來解釋筆者所理解的實驗步驟與相應的功能.

“明確實驗方向”很重要，其最大功能就是保持學生在實驗中注意力的集中，而這恰恰是實際教學中容易出現的問題——注意力分散或遷移，只有鎖定了“探究一個圓中圓周角與圓心角的關系”這一目的，才能保證后續的實驗是圍繞這個目的而進行的. “細化實驗步驟”是保證實驗可“做”的關鍵. 在探究圓周角與圓心角關系的過程中，第一要讓學生知道如何得到圓周角與對應的圓心角，第二要讓學生知道如何比較兩角的大小，第三要知道這種比較是要得到定量而定性的結果的. 于是學生最容易想到的就是利用一個紙剪出的圓，然后確定一個圓弧，進而就可以確定相應的圓周角與圓心角（用剪刀剪下來）. 能不能想到用“對折”來比較，基本上取決于學生在實驗過程中的“頓悟”水平，只要有一個學生想到，通常就會有其他學生立即跟上，這是體現數學實驗中“數學思維”含量的關鍵過程，通常需要花時間精心設計；“完成實驗”不必贅述，就是思維驅動之下具體的“做”的過程，是將思維動作化的過程，教師需要重點關注的是學生操作的準確性，以判斷學生數學思維的合理性. 如有學生用兩個等大的圓分別剪出一個圓周角與一個圓心角，而有的學生則在同一個圓中得到了圓心角與圓周角，這就是數學思維過程的不同，教師要注意甄別與判斷. “分析實驗現象與結果”強調的是學生的實驗結果與預期之間的吻合度，學生在準確剪出圓周角與圓心角并通過折疊的方式對比之后，就可以發現二倍關系，這是吻合的情況. 如果由于剪角不準確或比較方法不當，則無法發現二倍關系，這就是不吻合的情況. “評估實驗”是數學實驗中很重要的一步，這是在問題得到解決之后，學生回過頭來將實驗過程進一步清晰化、簡潔化的過程，是學生思維前行的過程. 實際上就有基礎較好的學生提出，“要證明圓心角是圓周角的二倍，完全可以不用實驗而直接證明（其是指邏輯推理）”，教師自然是需要給予肯定的，但對于抽象思維能力不強的學生而言，實驗仍是必要的.

在具體數學實驗中生成數學實驗的整體認知

經由上述分析，可以發現數學實驗在教師的思維當中應當是清晰的，在學生具體“做”的過程中，思維也應當是清晰的，而這就意味著數學實驗本身需要一個整體認知的存在，無論是對于教師還是對于學生而言——這里所說的整體認知不是指學術角度的數學實驗的整體認知，而是師生對數學實驗的認知. 說得再直接一點，就是師生必須知道：數學實驗不僅僅是“做”出來的，而應當是“思”后“做”出來的. 數學思維要驅動數學實驗的設計，沒有數學思維的存在，那數學實驗很有可能只是對照步驟的機械操作，那意味著學生很可能只是一個輸入實驗步驟指令的機器人，這顯然不是數學實驗作為學習方式的初衷. 筆者以為，這是對教學實踐中師生認知的必要界定.

需要指出的是，數學實驗的整體認知并不是一個固定的框架，說學生非要在這個框架內完成實驗. 數學實驗作為數學思維的產物，或許更需要現象學的理論來解釋，那就是針對不同的數學問題，需要有不同的整體認知. 如上探究圓周角與圓心角的關系，遵循的是數學實驗的一般步驟，而在另一些數學實驗中，這個架構可能會有所不同.

如有教師在“二次函數與一元二次方程”的教學中進行了這樣的設計：首先，利用數學實驗來促進學生對二次函數圖像與一元二次方程的解的關系的理解，即讓學生任意列出一個一元二次方程，讓他們通過自己的方法判定其根，然后討論交流方程根的不同情況. 在此基礎上，教師跟學生一起利用幾何畫板（基于問題解決的數學實驗工具）生成二次函數的圖像，以歸納二次函數與一元二次方程根的關系. 接著再進一步，讓學生在自己的草稿紙上畫圖判斷另一個一元二次方程根的可能情形，最后讓學生不準畫、只準想二次函數圖像，以直接判斷對應的一元二次方程根的情況. 在這樣的過程中，存在于第二、三兩步以函數圖像為主要呈現形式的數學實驗，起著促進學生構建二次函數圖像與一元二次方程根的關系的作用，在這個作用發揮的過程中，教師準確地界定了數學實驗在問題解決過程中的作用，并確定了發揮這種作用的環節. 由于四個層次步步遞進，學生做到最后一步時，也顯然意識到了函數圖像所起的作用，一旦學生的思路清晰了，那學生的認知就提升了：二次函數圖像與直角坐標系中x軸的交點，與對應的一元二次方程的根的情形存在著對應關系，這種關系可以將兩個知識點很好地聯系起來；而從學習方式上來看，從問題的提出，到其后的“看圖像”“畫圖像”，再到最后的“想圖像”，這就是一個超越了簡單的“做”，將數學思維與數學實驗操作聯系在一起的整體認知.

數學實驗的整體認知為教師提供宏觀的認識

在探究的過程中，筆者深切地感覺到，對數學實驗建立整體認知是極為重要的，其可以讓教師超越簡單模仿或機械操作的層面，從而將數學實驗以有效的方式嵌入到學生的學習過程中，使之真正成為推動學生學習的動力. 這種力量的發揮，不僅是淺層的興趣，更是直接面向數學知識構建過程的，因而是有效的.

而對于教師而言，有了對數學實驗的整體認知，實際上就是讓自己站在更高的高度審視數學實驗的存在及其價值，筆者以為，這種宏觀認識的形成，對于一線數學教師來說，是必需的. 這個時候我們再回頭來看數學實驗的定義：學習者為了構建某個數學知識、檢驗某個數學猜想、解決某個數學問題，在數學思維的作用之下，利用一定的物質手段進行的數學探究活動. 可以發現，我們對數學實驗的理解已經超越了“做”，而是追求“思”后“做”的有效設計，這在筆者看來是整體認知建立之后對數學實驗的進一步理解，同時也是數學實驗能夠發揮作用的關鍵.

最后再次強調，研究視角下的數學實驗常具有現象學意義，未必要強行概括某個規律.