用三種方法探究反正切與反余切的關系

趙維

【摘 要】反正切函數arctanx和反余切函數arc cotx在高等數學中微積分這部分內容中應用甚廣。由于對不定積分∫f（x）dx=F（x）+C中常數C的錯誤理解，得出arctan x與arc con x互為相反數的錯誤結論，由此引發對arctan x與arc cot x之間關系的探討。文章從arctan x與arc cot x的定義和拉格朗日中值定理兩個方面出發證明得到arctan x與arc cot x=的正確關系，再重新理解不定積分的定義與性質，分析出現錯誤的原因，加深了對不定積分的理解。

【關鍵詞】arctan x；arccot x；高等數學；不定積分

1.研究的背景、目的

本文是在高等數學上冊（同濟版第六版）不定積分章節的課后習題里產生的疑問，通過翻閱資料，解決了疑問。希望通過對反正切與反余切關系的探討，能深刻地理解微積分的相關知識，培養善于思考、提出疑問、解決問題的能力。

2反正切arctanx與反余切arccotx

2.1反函數及其導數

y=tanx的反函數=>y=arctanx（x∈（-∞，+∞），y∈（- ， ））

y=cotx的反函數=>y=arccotx（x∈（-∞，+∞），y∈（0，π））

（arctanx）'= ，（arctanx）'=-

2.2不定積分

2.2.1原函數與不定積分的概念

定義1如果在區間I上，可導函數F（x）的導函數為f（x），即對任一x∈I，都有F（x）=f（x）或dF（x）=f（x）dx，那么函數F（x）就稱為f（x）在區間I上的原函數。

定義2在區間I上，函數f（x）的帶有任意常數項的原函數稱為f（x）（或f（x）dx）在區間I上的不定積分，記作 ∫f（x）dx。

對兩個定義有兩點說明：

第一，如果f（x）在區間I上有原函數F（x），使對任一一x∈I，都有F'（x）=f（x）那么對任何常數C，也有[F（x）+c]'=f（x），即函數F（x）+C也是f（x）的原函數。

第二，如果在區間I上F（x）是f（x）的一個原函數，那么f（x）的其他原函數與F（x）之間僅相差一個常數。

2.2.2基本積分表

（1）∫ dx=arc tanx+C，（2）∫- dx=arc cot x+C

2.3arctan x與arc cot x的關系

高等數學 第六版（上冊），此教材里習題4-1中的2.（25）：求不定積分∫ dx

方法一：原式∫（1- ）dx=x-arctan+C

方法二：原式∫（1+ ）=x-arccot+C

根據不定積分的定義知道，兩種解法都正確。由等式的性質知x-arctanx+C=x+arccotx+C，即arctanX+arccotX=0......（2）

這個結論正確嗎？下面用三種方法來探究兩者間的關系：

（1）從arc tan x和arc cot x的定義去探究

設α=arctanx∈（- ， ），β=arccotx∈（0，π）則x=tanα=cotβ tanα=tan（ -β） α= -β α+β= ，

即arctanx+arc cot x= ......（3）

（2）用拉格朗日中值定理來探究

令f（x）=arctanx+arccotx（x∈（-∞，+∞））則f'（x）= +（- ）=0

設x0

由此兩種方法結論為arctanx+arccotx= ，結論arctanx+arccotx= 究竟錯在何處？

方法三：（定積分的定義）著重理解定積分中的常數C。

上述法一：∫ dx=x-arctanx+C1，法二：∫ =x+arccotx+C2（C1、C2為任意不同常數）

根據f（x）的其他原函數與F（x）之間僅相差一個常數知：x+arccotx+C2-（x-arctanx+C1）=arccotx+arctanx+C2-C1=C0（C0為常數）則有arctanx+arccotx=C0+C1-C2，則arctanx+arccotx等于常數（C0+C1-C2），該常數為上述證明得到的 。

3.結論

通過以上的探究得到arctanx+arccotx= 。這個結論的獲得啟示學習者要多思考，多探究，多反思，培養善于發現、敢于提問、勇于探索解決問題的精神和能力。

【參考文獻】

[1]同濟大學數學院.高等數學，第六版上冊[M].北京：高等教育版社，2007.4

[2]普通高中課程標準實驗教科書數學必修1，人民教育出版社A版