三角函數求最值的幾種解題策略

林東東

【摘 要】 三角函數的最值問題是高考的熱點之一。通過研討三角最值問題的解題思路，一方面可以對與其相關的知識鏈起到復習鞏固作用，另一方面又可以在用數學思想方法解題過程中培養自己的數學解題能力、數學思維能力。并且這類問題綜合性強，靈活性大，它往往與二次函數、三角函數圖像、函數的單調性等知識聯系在一起，有一定的綜合性.這類問題的解決涉及到化歸、轉換等重要的數學思想，掌握這類問題的求解策略，不僅能加強知識的縱橫聯系，鞏固基礎知識和基本技能，還能提高數學思維能力和運算能力。

【關鍵詞】 三角函數；最值

一、化為 的形式

例1.求函數 的最大值。

∴函數f（x）的最大值為 ，最小值為

反思總結：利用輔助角公式，容易求得函數的最值。

二、轉化為基本初等函數

1.轉化為二次函數

例2.求函數 的值域。

解：原式化為

令 ，則 ，由二次函數圖象可知，當t=- 時，y = ，當t=1時，y =5

反思總結：將函數表達式化為二次函數時一定要注意不能忽略函數的定義域的變化。

2.轉化為雙勾函數

例3.求函數y= 在區間（0，π）上的最大值。

解

= ，令t=tan ，則y= ，x∈（0，π）， ∈（0， ），∴tan ∈（0，+∞），即t∈（0，+∞），∴ +t≥2 ，0< ≤ ∴當t= 時，即tan = ，x= 時，函數y= 取得最大值 。

反思總結：將函數化為 （其中f（x）是三角函數），在利用基本不等式時要注意等號成立的條件，如果等號取不到，則要化成y=t+ ，利用導數通過圖象求解。

三、利用幾何意義

例4.求函數 的最大值及最小值。

函數 的幾何意義為兩點p（-2，0），Q（cosx，sinx）連線的斜率k，而 Q點的軌跡為單位圓，- ≤k≤ ，

故y =- ，y = ；

例5 求函數 在區間 上的最大值。

解

設A（1，-1），p（cosx，cos x），K =

即y為過P，A的斜率。所以要求函數y的最大值，只要求直線PA的斜率K 的最大值。因為p（cosx，cos x）是拋物線y=x （ ≤x< ）上的動點。

由圖觀察可知，當點P落在坐標（ ， ）時，斜率K = =- 為最大值，所以函數y= 的最小值大- 。

反思總結：若函數表達式可化為形如（其中為含有三角函數的式子）則可通過構造直線的斜率，通過數與形的轉化，利用其幾何意義來確定三角函數的最值。

四、利用整體思想求解

1.對于y= 型

應對策略：反解出sinx，由正弦函數的有界性|sinx|≤1；或可用分析法求最值。

例6.求函數y= 求最值。

利用求反函數法解出sinx= ，由，解得-2≤y≤- ，故y =-2，y =- 。

綜上所述，三角函數是一種特殊的函數，用三角函數的特征加上函數的思想就是求解三角函數最值的常用策略。求三角函數的最值，要仔細觀察函數的特征，聯系已有的函數知識，把陌生的問題轉化為熟悉的問題。求三角函數的最值，要特別注意角的范圍，要善于總結，勤于反思。具體做到以下幾點：

1.合理轉化，利用三角函數性質，或轉化為邊緣函數。

2.對于比較復雜的復合三角函數，難以直接運用公式進行轉化的，抓住結構特點，利用幾何意義求解。

3.利用整體思想，運用三角函數有界性求解。