三角經典問題研究兩例

胡詩潔

【摘 要】三角是中學數學的重要章節，其是一種特殊的函數，正是因為其以角度作為特殊的自變量，使得不少問題的解決獲得了簡化。本文研究三角學習中的兩個經典問題，與大家一起探討其中的一些思考。

【關鍵詞】三角；求值；三角函數；值域；思想

三角是一個非常獨特的章節，三角函數是以角度作為自變量的函數.在三角問題的研究中，需要研究一些經典的例題，從經典例題中獲取知識整合的運用，掌握三角相關知識的熟練性，進一步體會三角知識運用中涉及的數學思想方法。

問題1：已知 ，且 ，則 的值為 。

分析：本題是經典的三角求值問題，需要從多個知識點思考。在學習中比較容易錯誤的地方是對角度范圍的精確化判斷，這是作為初學者往往不太注意的，因為在平方關系后產生了增根，往往導致不合范圍的角度也進入了所求，因此這是第一個需要注意的；第二個值得關注的是問題求解的方式，初學學生往往都是利用單量的方式進行求解，這與思維尚處在初級階段有關，隨著學習的深入和三角公式理解的更進一步，如何避免去求解單量才是學習的關鍵所在。

錯解：由 ，兩邊平方得

，所以 ，所以

。這是一種典型的錯解，原因在于并沒有認識到

對問題的影響，而且平方方式產生了增根。這樣的問題要正確求解，需要對角度范圍進一步合理分析，并且盡量避免同角關系式的使用。

法1：由 ，得 ，化簡

得 ，解得 或 因為

，所以 ，即

所以 ， 。

說明：如果實在對同角關系式情有獨鐘，那就必須認真

分析角度自身范圍對值的影響，關鍵是 可以

知道 是鈍角，因此可以分析得出負值。這里是學習

需要注意的，因為對值的取舍成為解決很多三角問題的關鍵。因此這樣的法1隨著學習的深入漸漸的被淘汰。

法2：因為 ，兩邊平方得

，所以 ，所以

。因 ，所以 ，又因 ，

所以 ，得 ，即 ，

，所以 。

說明：若對錯解進一步分析，不難思考角度對值的影響.這樣的問題以后會多次遇到，這也是三角求值問題的典型想法，即盡可能不要利用平方關系，因為這往往導致增根的產生.因此最好的解法是：

法3：因為 ，兩邊平方得

，所以 ，即 ，得

， 。

說明：本法是最好的解決求值問題的方式，因為本法不同于上述兩個方法，上述兩法都是對于單量的求解，本法是避開了單量，從整體的角度進行了求解，這種利用整體性的想法是后續更多三角求值問題的主要思路，值得積累。

問題2：求函數y=cos2x+2sinx的值域（x∈[- ， ]）。

分析：問題是比較典型的三角函數值域問題。從二倍角公式簡單思考，我們就發現應該是換元思想介入，問題的本質是二次函數求值域問題.y=1-2sin x+2sinx=-2（sinx- ） + ，由x∈[- ， ]，可知- ≤sinx≤1，可以求得函數值域y∈[- ， ]。對于大多數學習者來說，我們都可以比較輕松的解決本題，因為僅僅一步的技巧讓問題的本質凸顯的比較明顯，但是更深層次的東西需要進一步思考：即換元思想（整體性的思考）才是與三角有關值域問題的核心。

變式1：求函數 的值域

（ ）。

分析：本題首先需要借助三角公式的變形。從代數式上思考，不難發現本題全部是齊次式，既然是齊次式就可以從統一降次的角度思考，原式可以簡化為

，

由， 可知 ，所以原函數的值域

。齊次式的簡化是三角值域問題的經典問題，如何將降次和整合聯系在一起，是問題解決的關鍵，這種代數變形的能力是必須掌握的、必須具備的。

本文分析了兩個三角經典問題，第一個問題是從求值的角度入手，指出了學習需要注重角度范圍思考，更重要的是如何學習避免單量的求解；第二個問題是注重對于代數式次數的研究，從而獲得函數的本質，換元思想成為重要的問題解決思想，后續更多的問題懇請讀者指正。

【參考文獻】

[1]鄭毓信，梁貫成.認知問題建構與數學思想[M].上海：上海教育出版社，2002

[2]方小芹，林德寬.數學問題解決過程中的知識類型分析[J].數學通訊，2013.4