一題十解 拓展思路

晏洪利

同學們在數學學習中積累了很多知識和方法，一題多解正是我們運用數學知識解決問題所追求的更高境界。

例如圖1，在△ABC中，AB=AC，D為BC中點，AD=4，求三角形ABC的最大面積。

一、換元思想

方法一：

設AC=2x，則有BD=DC=X，設∠ABC=？茲，根據余弦定理有

方法二：由余弦定理

二、設輔助角

方法三：引用方法二中得出的

三、用萬能置換公式解題

方法四：

四、函數思想

方法五：

五、重要結論

方法六：如圖3，作CH⊥AB，H為垂足，

六、等面積法

方法七：如圖5

七、重要定理公式（海倫公式）

方法八：此處用到了阿波羅尼奧斯定理，亦稱中線長公式，表述三角形三邊和長度關系，三角形一條中線兩側所對邊平方和等于底邊的一半平方與該邊中線平方和的三倍。

如圖6，設BC為m，AB長為n，由中線定理，

方法九：一個三角形，三邊長為a，b，c

方法十：數學背景阿波羅尼奧斯圓：

已知A，B兩個頂點，一動點P到A，B的距離比■=？姿（？姿>0，？姿≠1），則P點的軌跡為圓，這個圓就是阿波羅尼奧斯圓，并且圓心在A，B邊線上如圖6，設dN=x

通過一題多解的練習，不僅可以鞏固知識，更能訓練學生思維，開拓視野。