“涂色問題”的變式探究

江蘇 王佩其

(作者單位：江蘇省太倉市明德高級中學)

“涂色問題”的變式探究

“涂色問題”是高考中比較常見的一類計數問題，具有一定的難度，能全面考查同學們的創新思維能力、分析問題與觀察問題的能力.解決這類問題的關鍵是合理采用分類思想，并結合獨特的視角，下面讓我們一起來探究.

一、由四棱錐的頂點涂色引出的問題

【引例】如圖所示，將一個四棱錐的每一個頂點涂上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種顏色可供使用，求不同的涂色方法總數.

【分析】涂色問題是常見的計數應用問題，可從選顏色、選頂點進行分類、分步，從不同角度解決問題.

【解析】方法一：可分為兩步進行，先將四棱錐一側面三頂點涂色，然后再分類考慮另外兩頂點的涂色數，用分步乘法計數原理即可得出結論.由題設，四棱錐S-ABCD的頂點S、A、B所涂的顏色互不相同，它們共有5×4×3=60(種)涂色方法.

當S、A、B涂好時，不妨設其顏色分別為1、2、3，若C涂2，則D可涂3或4或5，有3種涂法；若C涂4，則D可涂3或5，有2種涂法；若C涂5，則D可涂3或4，有2種涂法.可見，當S、A、B已涂好時，C、D還有7種涂法，故不同的涂色方法有60×7=420(種).

方法二：以S、A、B、C、D順序分步涂色.

第一步，S點涂色，有5種方法；

第二步，A點涂色，與S在同一條棱上，有4種方法；

第三步，B點涂色，與S、A分別在同一條棱上，有3種方法；

第四步，C點涂色，也有3種方法，但考慮到D點與S、A、C相鄰，需要針對A與C是否同色進行分類，當A與C同色時，D點有3種涂色方法；當A與C不同色時，因為C與S、B也不同色，所以C點有2種涂色方法，D點也有2種涂色方法.由分步乘法、分類加法計數原理得不同的涂色方法共有5×4×3×(1×3+2×2)=420(種).

方法三：按所用顏色種數分類.

【評注】(1)解決涂色問題，一定要分清所給的顏色是否用完，并選擇恰當的涂色順序.

(2)切實選擇好分類標準，分清哪些可以同色，哪些不同色.

二、將四棱錐變為被對角線分成四部分的矩形

【探究1】如圖，矩形的對角線把矩形分成A，B，C，D四部分，現用5種不同的顏色給這四部分涂色，每部分涂1種顏色，要求共邊的兩部分顏色互異，則共有 種不同的涂色方法.

【解析】區域A有5種涂色方法；區域B有4種涂色方法；區域C的涂色方法可分兩類：若C與A涂同色，區域D有4種涂色方法；若C與A涂不同色，此時區域C有3種涂色方法，區域D也有3種涂色方法.所以共有5×4×4+5×4×3×3=260(種)涂色方法.

【評注】本題若直接利用分步乘法計數原理來求，則會導致錯解，其錯誤在于沒有注意到依次涂完A、B、C三個區域后，區域D的涂色方法數要受到A、C兩區域的影響，因此要對A、C顏色是否相同進行分類.另外，對于此類涂色問題也要注意所給顏色是否必須用完.

三、將四部分變為五個區域

【探究2】如圖所示，一個地區分為5個行政區域，現給該地區的地圖涂色，要求相鄰區域不得使用同一種顏色，現有4種顏色可供選擇，則涂色方法共有 種.

【解析】因為區域1與其他4個區域都相鄰，首先考慮區域1，有4種涂法，然后再按區域2,4同色和不同色，分為兩類：

第1類，區域2,4同色，有3種涂法，此時區域3,5均有2種涂法，共有4×3×2×2=48種涂法；

第2類，區域2,4不同色，先涂區域2，有3種方法，再涂區域4，有2種方法，此時區域3,5都只有1種涂法，共有4×3×2×1×1=24種涂法.

根據分類加法計數原理，共有48+24=72種滿足條件的涂色方法.

【評注】本著特殊區域優先涂色的原則，故先涂與其他四個區域都相鄰的區域1.而區域2,4(或區域3,5)相對于區域1所處位置相同，故涂色時對它們同時進行.可見涂色必須考慮先后次序.

四、將五個區域變成九個區域

【探究3】用紅、黃、藍三種顏色去涂圖中標號為1，2，…，9的9個小正方形(如圖所示)，使得任意相鄰(有公共邊)的小正方形所涂顏色都不相同，且標號為1，5，9的小正方形涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有 種.

123456789

【解析】把區域分為三部分.第一部分1，5，9，有3種涂法.第二部分4，7，8，當5，7同色時，4，8各有2種涂法，共4種涂法，當5，7異色時，7有2種涂法，4，8均只有1種涂法，故第二部分共有4+2=6(種)涂法.第三部分與第二部分一樣，共6種涂法.

由分步乘法計數原理，可得共有3×6×6=108(種)涂法.

【評注】由于對角線上的三個區域最特殊，所以先給它們涂色，繼而再給第二部分4，7，8和第二部分2,3,6涂色，在同一部分涂色采用分類計數原理，不同部分涂色的計數采用分布計數原理.

從以上探究可以看出，在解決涂色問題的過程中，并不一定是單一的分類或分步，而是可能同時應用兩個計數原理，即分類時，每類的方法可能要運用分步完成，而分步時，每步的方法數可能會采取分類的思想求.分類的關鍵在于要做到“不重不漏”，分步的關鍵在于要正確設計分步的程序，即合理分類，準確分步.

【變式練習1】如圖，花壇內有5個花池，有5種不同顏色的花卉可供栽種，每個花池內只能種一種顏色的花卉，相鄰兩池的花色不同，則栽種方案的種數為

( )

A.180 B.240

C.360 D.420

【答案】D

【變式練習2】用n種不同顏色為廣告牌著色(如圖甲)，要求在①、②、③、④個區域中相鄰(有公共邊界)的區域不用同一種顏色.

(1)當n=6時，為圖甲著色時共有多少種不同的著色方法.

(2)若為圖乙著色時共有120種不同的著色方法，求n.

【解】完成著色這件事，共分四個步驟進行，可依次考慮①、②、③、④著色時各自的方法數，再由乘法原理確定總的著色方法數.

(1)為①著色有6種方法，為②著色有5種方法，為③著色有4種方法，為④著色也有4種方法.所以共有著色方法：6×5×4×4 = 480 (種).

(2)與(1)的區別在于與④相鄰的區域由兩塊變成了三塊，同理不同的著色方法數是：n(n-1)(n-2)(n-3).

由n(n-1)(n-2)(n-3)=120得(n2-3n)(n2-3n+2)-120=0，

(作者單位：江蘇省太倉市明德高級中學)