構造模型探究空間動點軌跡

江西 廖達凡

(作者單位：江西省大余中學)

構造模型探究空間動點軌跡

在近幾年的高考試題中，以空間圖形為載體的軌跡問題以它獨特的知識性、趣味性、新穎性和綜合性已悄然成為試題中一道亮麗的風景線.此類問題將解析幾何知識和立體幾何知識結合在一起，在知識網絡交匯處設計命題，靈活、巧妙地考查學生的思維能力和空間想象能力.針對高考復習中有不少同學對這類問題難以把握,筆者舉例探討如何巧妙構造圖形來解決動點軌跡，以饗讀者.

一、構造正方體探究動點軌跡問題

【例1】(2010·重慶理·10)到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內的軌跡是 .

A.直線

B.橢圓

C.拋物線

D.雙曲線

【解析】根據題意，可構造正方體為模型來研究，設正方體的棱長為1.

如圖，圖中AB與A1D1是滿足條件的兩條異面直線，平面ABCD就是過異面直線中的一條AB與另一條直線A1D1平行的平面，在平面ABCD內以A點為原點，AB與AD所在直線分別為x軸、y軸建立平面直角坐標系.設點P(x，y)是平面ABCD內滿足條件的動點.過點P分別作PR⊥AB，PQ⊥A1D1，作PS⊥AD于S，連接QS，由線面關系不難知QS⊥PS.

【評注】此題為立體幾何背景下考查學生平面解析幾何的知識，圖形比較抽象，若能構造出一個正方體，就可直觀地表現出各個量之間的關系，再把各個量轉換到平面上就可研究.

二、構造圓柱探究動點軌跡問題

【例2】(2008·浙江理·10)如圖，AB是平面α的斜線段，A為斜足，若點P在平面α內運動，使得△ABP的面積為定值，則動點P的軌跡是 .

A.圓

B.橢圓

C.一條直線

D.兩條平行直線

【解析】因為△ABP的面積為定值，且AB為定長，所以點P到直線AB的距離就為定值.空間中，動點P到直線AB的距離為定值的軌跡為一個以AB為軸的圓柱，且點P在平面α內運動.故可以構造圓柱用一個平面斜截圓柱側面，所截得的截線就是橢圓，故選B.

【評注】本題將問題轉化后，構造出圓柱就可很好地解決問題了，能力要求比較高.

三、構造平面探究動點軌跡問題

【例3】如圖，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點P在側面BCC1B1及其邊界上運動，并且總保持AP⊥BD1，則動點P的軌跡是 .

A.線段B1C

B.線段BC1

C.BB1中點與CC1中點連成的線段

D.BC中點與B1C1中點連成的線段

【解析】聯想正方體的體對角線與面對角線的關系.連接AC、CB1、AB1，易證BD1⊥平面AB1C，所以點P的軌跡為線段B1C.

(作者單位：江西省大余中學)