二項式中的系數問題

山東 楊宗柱

(作者單位：山東省泰安英雄山中學)

二項式中的系數問題

一、求展開式中項的系數

【例1】(2016·北京)在(1-2x)6的展開式中，x2的系數為 .(用數字作答)

二、求展開式中與系數相關的參數

【點評】已知二項式展開式中某一項的系數，求相關參數的值，是二項式定理的逆向應用.解這類問題主要是利用通項公式，建立關于參數的方程，由待定系數法求解.

三、求兩個二項式積的展開式中項的系數

【例3】(2014·浙江理·5)在(1+x)6(1+y)4的展開式中，記xmyn項的系數為f(m,n)，則f(3,0)+f(2,1)+f(1,2)+f(0,3)=( )

A.45 B.60 C.120 D.210

【點評】求兩個二項式積的展開式中某一項的系數，可分別展開兩個二項式，由多項式乘法求得所求項的系數.

【變式3】 (1+2x)3(1-x)4展開式中x2的系數為 .

提示：因為(1+2x)3(1-x)4展開式的通項為

又由題意知r+s=2，

四、賦值法求展開式各項系數的和

【點評】求二項式所有項的系數和，可采用“特殊值取代法”，通常令字母變量的值為1.

( )

A.-60 B.60

C.-30 D.30

五、求系數最大的“項”

(Ⅰ)若展開式中第5項，第6項與第7項的二項式系數成等差數列，求展開式中二項式系數最大項的系數；

(Ⅱ)若展開式前三項的二項式系數和等于79，求展開式中系數最大的項.

當n=14時，展開式中二項式系數最大的項是T8.

所以n=12或n=-13(舍去).

設Tk+1項的系數最大，

【點評】二項式系數、系數是兩個不同的概念，二項式系數最大的項一定是展開式中的中間項(或中間兩項)；而系數最大的項通過解不等式組的方法解決，且一定要考慮到系數前的符號.

六、綜合應用

【點評】本題與基本不等式的應用結合，考查了二項式展開式的項的系數的逆向應用，體現了知識間的交匯.

(Ⅰ)求a的值；

(Ⅱ)若(xcosθ+1)5的展開式中x2的系數與(x+a)4的展開式中x3的系數相等，試求cos2θ的值.

故cos2θ=2cos2θ-1=0.

(作者單位：山東省泰安英雄山中學)