善用舊瓶嘗新酒
——例談新定義類題目的解題策略

北京 杜巧衛(wèi)

(作者單位：北京師范大學(xué)出版集團)

善用舊瓶嘗新酒
——例談新定義類題目的解題策略

在近年各地的高考題和模擬考試中，經(jīng)常能見到一類“新定義”問題.這些題目一般在題設(shè)條件中給出課本上沒有的定義、概念或性質(zhì)，要求考生解決與之相關(guān)的問題.很多同學(xué)對這一類問題感到困難，畏懼于題目給出的五花八門的新定義，甚至對一些有一定難度的題目感到無所適從.

其實，只要仔細(xì)分析這些題目就可以看出，這些所謂的“新定義”其實就是對傳統(tǒng)題目中的題設(shè)條件或設(shè)問換了一種說法，本質(zhì)上都屬于“舊瓶裝新酒”.只要我們掌握好、用好這個“裝酒的舊瓶”(即基本的數(shù)學(xué)概念和基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)思想、解題方法)，就能品嘗瓶中的“新酒”(給出的新定義新概念)，不論是醇厚的佳釀還是濃郁的烈酒，都能從容應(yīng)對.下面我們就以2016年的幾道高考真題為例，談?wù)劷鉀Q這類新定義問題的策略和方法.

【例1】(2016·山東理·10)若函數(shù)y=f(x)的圖象上存在兩點，使得函數(shù)的圖象在這兩點處的切線互相垂直，則稱y=f(x)具有T性質(zhì).下列函數(shù)中具有T性質(zhì)的是

( )

A.y=sinxB.y=lnx

C.y=exD.y=x3

【試題分析】題意中的T性質(zhì)，是指函數(shù)圖象上存在兩個點，這兩點處的切線互相垂直，實質(zhì)上是函數(shù)圖象上存在兩點的導(dǎo)數(shù)值乘積等于-1的情況.依次驗證選項中的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是否滿足這個要求即可.

【解】當(dāng)y=sinx，可知y′=cosx, 所以cos0·cosπ=-1，所以函數(shù)y=sinx的圖象上存在兩個點，使在這兩個點處的切線互相垂直，滿足T性質(zhì).而其他函數(shù)y=lnx，y=ex，y=x3的導(dǎo)數(shù)值均為非負(fù)數(shù)，所以均不具有T性質(zhì).故選A.

【評注】本題給出的“新定義”，其實只是傳統(tǒng)題目條件及設(shè)問的另一種表述方式，本質(zhì)上還是在考查函數(shù)的求導(dǎo)和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，所以理解給出的新定義或新性質(zhì)的含義，進行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵.

①若點A的“伴隨點”是點A′，則點A′的“伴隨點”是點A;

②單位圓的“伴隨曲線”是它自身；

③若曲線C關(guān)于x軸對稱，則其“伴隨曲線”C′關(guān)于y軸對稱；

④一條直線的“伴隨曲線”是一條直線.

其中的真命題是 (寫出所有真命題的序號).

【試題分析】本題題意中給出的“伴隨點”的概念，實質(zhì)上是給出了一種坐標(biāo)變換，但應(yīng)注意這種變換不一定是可逆的.判斷給出的命題是否為真命題時，既可以根據(jù)伴隨點的定義直接驗算，也可以舉出反例判斷，后者的方法往往更簡單.

綜上，本題應(yīng)填②③.

以上兩道“新定義”類問題比較簡單，甚至可以說這兩道道題目不僅“盛酒的酒瓶”(即解題需要的技能和方法)是舊的，連 “瓶中的美酒”(即題設(shè)中給出的新定義)也是舊的，無非是在酒瓶上換了一個標(biāo)簽而已！這類題目一般比較簡單，只要同學(xué)們能夠把握給出的“新定義”的本質(zhì)，并將其轉(zhuǎn)換為我們熟悉的概念和性質(zhì)，就能順利求解.

高考中還有一類“新定義”問題，它們一般出現(xiàn)在解答題中，有的甚至是在壓軸題中.這些題目給出的“新定義”往往無法直接轉(zhuǎn)化成我們熟悉的概念或性質(zhì)，而要求同學(xué)們在認(rèn)真研究給出的新定義同時，還必須深入挖掘蘊含在定義中的性質(zhì)，并熟練運用基本的數(shù)學(xué)思想和方法才能順利解決.下面我們通過對2016年北京高考數(shù)學(xué)理科卷的壓軸題的分析和解答來加以說明.

【例3】(2016·北京理·20)設(shè)數(shù)列A：a1,a2，…，aN(N≥2).如果對小于n(2≤n≤N)的每個正整數(shù)k都有ak

(1)對數(shù)列A：-2，2，-1，1，3，寫出G(A)的所有元素；

(2)證明：若數(shù)列A中存在an使得an>a1，則有G(A)≠?；

(3)證明：若數(shù)列A滿足an-an-1≤1(n=2,3，…，N)，則G(A)的元素個數(shù)不小于aN-a1.

【試題分析(1)】本題給出的新定義“G時刻”不能簡單地轉(zhuǎn)化為我們學(xué)過的數(shù)學(xué)概念或性質(zhì)，需要認(rèn)真分析它的定義，并挖掘其蘊含的性質(zhì).為此，我們可以畫出一個數(shù)列圖象的草圖幫助我們理解題意并分析，如下圖.圖中加下劃線的序號，即為此數(shù)列的“G時刻”，我們把它們對應(yīng)的項用虛線連成了一條曲線.

對照題意給出的“G時刻”的定義，即“如果對小于n(2≤n≤N)的每個正整數(shù)k都有ak

【解】(1)數(shù)列A：-2，2，-1，1，3中，第2項大于第1項，第5項大于之前的4項，故數(shù)列A的G時刻為2和5，所以G(A)的元素為2和5.

【試題分析(2)】題意要求證明當(dāng)數(shù)列A中存在an使得an>a1時，則數(shù)列A存在“G時刻”，參考上面給出的數(shù)列圖象，可以看出，如果數(shù)列A中存在大于a1的項，那么第一個大于a1的項對應(yīng)的項數(shù)，即是此數(shù)列的G時刻，根據(jù)這個思路，便不難證明第(2)問.注意解題時要使用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言.

【證明】(2)因為數(shù)列A中存在an使得an>a1，

所以{i∈N*|2≤i≤N,ai>a1}≠?.

設(shè)m=min{i∈N*|2≤i≤N,ai>a1}，

則m≥2，且有當(dāng)k∈N*且k

所以根據(jù)定義可知m∈G(A)，所以G(A)≠?.

【試題分析(3)】本題第三問有一些難度，很多同學(xué)做到這一問時會感到?jīng)]有頭緒.這就需要我們在初步掌握了G時刻的定義后，還要繼續(xù)挖掘蘊含在這個概念中的數(shù)學(xué)性質(zhì)，并結(jié)合題設(shè)條件和要求證明的結(jié)論加以分析.

不妨設(shè)G(A)的元素個數(shù)為p，則題目條件為“數(shù)列A滿足an-an-1≤1”，要證明的結(jié)論為“p≥aN-a1”.由“aN-a1”和“an-an-1”的式子特點，我們可以聯(lián)想到要用到“累加法”.再由p為G(A)的元素個數(shù)，這就提示我們進一步研究數(shù)列A的G時刻對應(yīng)的項的性質(zhì).

通過圖象可以看出，G時刻對應(yīng)的數(shù)列中的項是單調(diào)遞增的，這應(yīng)該是G時刻的基本性質(zhì).

不妨設(shè)G(A)={n1,n2,n3,…,np}，且n1

進一步觀察圖象，研究G時刻的性質(zhì)，我們可以得出，若在相鄰的G時刻ni,ni+1對應(yīng)的項ani,ani+1之間還有其他的項，則這些項必不大于ani.再結(jié)合數(shù)列A滿足an-an-1≤1的條件，不難得出ani+1≤an(i+1)-1+1≤ani+1，即ani+1-ani≤1；若ani,ani+1之間沒有其他的項，即ani,ani+1是數(shù)列A中相鄰的兩項，由題設(shè)條件也可得ani+1-ani≤1，而ani+1-ani≤1正是我們要使用累加法所需要的關(guān)系式.將上面的思路整理一下，用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言表述出來，即可得到第(3)問的證明.

【證明】(3)不妨設(shè)G(A)的元素個數(shù)為p，則p≥0.

若aN≤a1，則aN-a1≤0≤p，命題成立.以下設(shè)aN>a1，由第(2)問可知G(A)≠?.

設(shè)G(A)={n1,n2,n3,…,np}，且1

由G時刻的定義可知:a1

設(shè)2≤i≤p,且ni∈G(A)={n1,n2,n3,…,np}，若ni-ni-1=1，則有ani-an(i-1)≤1；

若ni-ni-1>1，設(shè)Gi={k∈N*|ni-1ani-1}，若Gi≠?，令mi=minGi，所以mi∈G(A)，矛盾.所以若ni-1

所以ani≤1+ani-1≤1+an(i-1)，即ani-an(i-1)≤1.

(注意“an(i-1)”表示第(i-1)個G時刻對應(yīng)的項；而“ani-1”表示第i個G時刻對應(yīng)的項的前一個項)

所以an1-a1≤1,

an2-an1≤1,

an3-an2≤1,

……

anp-anp-1≤1，

即G(A)的元素個數(shù)不小于aN-a1.證畢.

【評述】本題給出的新定義比較抽象，需要我們借助實例、圖象來深入理解，但本題考查的仍是高中數(shù)學(xué)基本的概念和方法.第(3)問的證明有一定的難度，不僅需要考生通過對題設(shè)條件和待證式的結(jié)構(gòu)特征的觀察聯(lián)想到要用到“累加法”，還要求考生能挖掘出“G時刻”的相關(guān)性質(zhì)，并結(jié)合題設(shè)條件由定性的性質(zhì)得出定量的結(jié)果.

(作者單位：北京師范大學(xué)出版集團)