“聯(lián)想”，有助于數(shù)學(xué)思考

周雯

【內(nèi)容摘要】我們可以通過尋找已知知識和未知知識之間的聯(lián)系，來解決一些含有未知知識的數(shù)學(xué)問題，筆者暫且就將這種數(shù)學(xué)思考方式稱之為“聯(lián)想”，本文將談?wù)勂鋵Πl(fā)展數(shù)學(xué)思考的一些作用。“聯(lián)想”，有助于導(dǎo)入新課；“聯(lián)想”，有助于解決數(shù)學(xué)問題。數(shù)學(xué)課強(qiáng)調(diào)理性思維，知識講究來龍去脈，方法講究前因后果，其實這就是回歸數(shù)學(xué)教學(xué)的本真。

【關(guān)鍵詞】聯(lián)想 數(shù)學(xué)思考 本真

《2011版義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》將課程總目標(biāo)從以下四個方面具體闡述：知識技能、數(shù)學(xué)思考、問題解決、情感態(tài)度。以下，筆者就自己在教學(xué)活動中的一種具體數(shù)學(xué)思考活動——“聯(lián)想”，來談?wù)勂鋵Πl(fā)展數(shù)學(xué)思考的一些作用。

我們可以通過尋找已知知識和未知知識之間的聯(lián)系，來解決一些含有未知知識的數(shù)學(xué)問題，筆者暫且就將這種數(shù)學(xué)思考方式稱之為“聯(lián)想”。“聯(lián)想”，有助于很多數(shù)學(xué)教學(xué)活動，有助于解決很多數(shù)學(xué)問題。

一、“聯(lián)想”，有助于導(dǎo)入新課

新課導(dǎo)入，現(xiàn)在比較流行情境導(dǎo)入，恰如其分地運(yùn)用情境導(dǎo)入，的確能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，尤其在一個新知識出現(xiàn)的第一課時我們經(jīng)常使用，而且效果很好。但當(dāng)知識學(xué)習(xí)進(jìn)入到中間階段時，通過對已有知識進(jìn)行聯(lián)想，發(fā)展新知識，這種引入往往有奇效。

案例1：在《合并同類項》一節(jié)課中同類項概念的引入。導(dǎo)入時，先給出問題：計算：（1）2x+3x=？（2）4x-x=？（3）2x+3y=？（4）4x-y=？其中（1）、（2）兩問，小學(xué)已經(jīng)學(xué)過，學(xué)生完全能夠解答。而對于（3）、（4）兩個問題，學(xué)生卻無從下手。此刻，教師可以追問：為什么（3）、（4）兩題無法計算，而（1）、（2）兩題卻可以呢？請你比較并思考。思考后，學(xué)生可能意識到導(dǎo)致不能計算的原因，即：字母不同。緊接著，再給出幾組能合并成一項的單項式，再次觀察這幾組能合并成一項的單項式都有什么共同特點，從而歸納出同類項的定義，引入本節(jié)課。

案例2：在《用尺規(guī)作線段與角》這節(jié)課中，導(dǎo)入時，直接讓學(xué)生動手畫圖操作：已知線段a，畫一條線段等于已知線段a。學(xué)生肯定直接用刻度尺量出已知線段的長度，再畫出等于這個長度的線段。有了這個操作經(jīng)驗，提問：如果用沒有刻度的直尺，怎么畫呢？學(xué)生可能會聯(lián)想到，用直的尺度量、并在直尺上用筆標(biāo)記已知線段的兩端點，這樣也能畫出線段。由此，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想：我們很需要一個能度量出線段兩端的工具，對嗎？教師：我給你介紹圓規(guī)！并介紹作法！已知：線段a，求作：線段AB，使AB=a。作法：（1）作一條直線MN；（2）任取一點A，以A為圓心，以線段a的長度為半徑畫弧，交直線MN于點B，則線段AB即為所求。

作一個角等于已知角，比作線段難理解。同上述教學(xué)過程一樣，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想小學(xué)時操作理解尺規(guī)作圖的原理，這讓接下來的一切變得順理成章！先讓學(xué)生用量角器畫出一個角等于已知角。進(jìn)而，引導(dǎo)學(xué)生思考畫角的關(guān)鍵是什么！筆者認(rèn)為，這樣的聯(lián)想與類比，比直接灌輸作法給學(xué)生的印象要深刻得多。

以上這些做法，不是直接灌輸或是讓學(xué)生被動接受一個新概念，而是從他已有的小學(xué)知識的基礎(chǔ)上，聯(lián)想生成新知識，能提高學(xué)生的探究興趣，并保持對知識的新鮮感，甚至期待下節(jié)課的到來。

二、“聯(lián)想”，有助于解決數(shù)學(xué)問題

數(shù)學(xué)教學(xué)，離不開解題。在數(shù)學(xué)解題過程中，通過對問題的題設(shè)、圖形特征以及求解目標(biāo)的分析，從而聯(lián)想到有關(guān)已知知識，如已學(xué)定義、定理、法則，以及以前解決過的一些典型問題等，最終找到解題的思路和方法。

案例4：

題1：在《四邊形》這章的B組復(fù)習(xí)題中，有這樣一題：

已知點O是矩形ABCD內(nèi)任一點，求證：OA2+OC2=OB2+OD2。

此題考查的其實就是勾股定理的運(yùn)用，過O點做EF垂直于AD，易證EF垂直于BC，分別在四個直角三角形中，OA2=OE2+AE2，OB2=OF2+BF2，OC2= OF2+CF2，OD2=OE2+DE2，于是：

OA2+OC2=OE2+AE2+OF2+CF2 （1）

OB2+OD2=OF2+BF2+OE2+DE2 （2）

于是對比（1）（2）式的右邊發(fā)現(xiàn)，易證AE=BF，CF=DE相等，右邊相等，則左邊相等，即證。

題2：已知如圖，等邊三角形ABC邊長為x，內(nèi)任一點O，向三邊作垂線交D、E、F。

求證：AD+BE+CF= x。

引導(dǎo)學(xué)生對條件進(jìn)行思考：等邊三角形與垂線段怎么用？由于在平時的教學(xué)中，筆者實施的是聯(lián)想的教學(xué)方式，學(xué)生能夠較快聯(lián)想自己解題經(jīng)驗，獲得解題靈感：利用勾股定理表示出AD、BE、CF，再引導(dǎo)學(xué)生從已經(jīng)獲得過的解題經(jīng)驗，利用結(jié)論證AD+BE+CF，聯(lián)想將AD2+BE2+CF2，則得到：三角形ABC的周長為3x，則AD+BE+CF= x。

這些解題中的“聯(lián)想”，是一種知識的遷移。堅持去做，不僅可使舊題萌發(fā)新意，而且能夠拓寬、深化學(xué)生的解題思路，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思考能力和解決問題的能力，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神。

以上，只是筆者教學(xué)過程中的幾例看法，還有很多思考會繼續(xù)。數(shù)學(xué)課強(qiáng)調(diào)理性思維，知識講究來龍去脈，方法講究前因后果，其實，這就是回歸數(shù)學(xué)教學(xué)的本真。

（作者單位：安徽省合肥市第六十五中學(xué)）