淺談多元函數極值的判定

余小飛，李 平

(河南工業職業技術學院，河南 南陽 473000)

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淺談多元函數極值的判定

余小飛，李 平

(河南工業職業技術學院，河南 南陽 473000)

根據多元函數極值的判定定理，研究多元函數極值的求解方法。

多元函數極值判定

1 多元函數極值的定義

若函數f(P)=f(x1,x2,…,xn)在點P0的領域內有定義，并且當0<ρ(P0,P)<δ時，f(P0)>f(P)或f(P0)

2 極值存在的充分條件

若函數f(P)在點P0處滿足：(1)df(P0)=0，d2f(P0)<0時，函數f(P)在點P0處取得極大值；(2)df(P0)=0，d2f(P0)>0時，函數f(P)在點P0處取得極小值．

特別的，對于二元函數f(x,y)，設A=f″xx(x0,y0)，B=f″xy(x0,y0)，C=f″yy(x0,y0)，當D=AC-B2≠0時：(1)若D>0，A>0(C>0)，此時函數取得極小值；(2)若D>0，A<0(C<0)，此時函數取得極大值；(3)若D<0，此時函數的極值不存在．

3 案例分析

顯然z的極值均為u的極值；且u在點(x,y)取得的極值不為零時，z也在點(x,y)取得極值；且u在點(x,y)取得的極值為零時，須進一步討論．

解方程組

由于z在點P0附近變號，所以z(P0)不是極值.計算二階偏導數：

解析另x=rcosφ，y=rsinφ，則

解方程組

(1)

(2) ，

先設a、b不同時為零.由(2)考慮到r=0不是解(r=0，不論φ為何值，都不滿足(1)式)，故有asinφ=bcosφ.于是

設c=0，由(1)式有acosφ+bsinφ=0，再由(3)式得，a=b=0，這與a、b不同時為零矛盾，因此當c=0時無解．

為保證r>0，在cosφ與sinφ前取與c一致的符號，因此有

[1]費定輝，周學圣.數學分析習題集題解[M]．濟南：山東科學技術出版社，2008：368-369．

[2]樂春紅.關于二元二次函數極值的一點思考[J]．重慶工商大學學報：自然科學版，2009，26(4)：334-336．

[3]楊元超，張守貴.二元泰勒展開式在求解函數極限中的應用[J]．重慶工商大學學報：自然科學版，2013，30(10)：25-27．

(編輯 趙欣宇)

Discussion on the Judgment Theorem of Extremum of Multivariate Function

YU Xiaofei, LI Ping

(Henan Polytechnic Institute, Nanyang 473000, China)

According to the judgment theorem of extremum of multivariate function, this paper studies the method of solving the extremum of multivariate function．

judgment of extremum of multivariate function

2017-03-16

余小飛(1986-)，理學碩士，講師。主要研究方向：基礎數學。

G712

A

1672-0601(2017)07-0118-02