例說反證法

浙江鎮海中學 沈紅正

例說反證法

浙江鎮海中學 沈紅正

反證法是證明數學命題的一種間接證法，關于它的本質，有些學生總認為反證法其實就是證明原命題的逆否命題，事實上，這種認識是錯誤的。為了說明問題，先給出一個經典習題的五種證明方法。

原題：求證：a,b,c為正實數的充要條件是：a+b+c＞0，且ab+bc+ca＞0和abc＞0。

分析 必要條件顯然成立，而充分性的證明必須綜合考慮a+b+c＞0，且ab+bc+ca＞0和abc＞0，不易找到突破口，故嘗試反證法。

證法五：假設a,b,c不全為正實數，則a,b,c中至少有一個為非正實數。

①若三個都是非正實數，不妨設a≤0，b≤0，c≤0，則abc≤0，與abc＞0矛盾。

②若兩個是非正實數，不妨設a≤0，b≤0，c＞0，則：

當a+c≤0時，有a+b+c≤0，這與條件a+b+c＞0矛盾；

當a+c＞0時，有ab+bc+ca=b（a+c）+ac≤0，與ab+bc+ca＞0矛盾。

③若只有一個非正實數，不妨設a≤0，b＞0，c＞0，則abc≤0，與abc＞0矛盾。

綜上可知，假設錯誤，故a,b,c為正實數。

比較以上五種方法，我們可以看到，它們都是在肯定條件的同時否定結論，并以此為依據，進行正確的推理，分別得到了矛盾（這是反證法的關鍵），但它們的矛盾形式是不一樣的，證法一與假設矛盾，證法二自相矛盾，證法三和五與題設條件矛盾，證法四與事實矛盾（這就是反證法的多樣性）。進一步分析我們還發現，證法三和五得到矛盾的途徑是不一樣的，證法三是綜合運用假設和條件abc＞0的情況下得到與a+b+c＞0矛盾；而證法五是完全根據假設條件（a,b,c不全為正實數）得到與題設條件矛盾，這正好證明了原命題的逆否命題：若a,b,c不全為正實數，則a+b+c≤0，或ab+bc+ca≤0，或abc≤0。

一般地，反證法就是欲證“pq?”，可以肯定它的條件，而否定它的結論q（用﹁q表示），在的條件下，經過正確的推理，最后得出矛盾，即得到一個假命題“。如果在推導矛盾的過程中只用﹁q，而沒有用題設條件p做前提，且推導出的結果是﹁p，那么這樣證明的命題才是逆否命題，如證法五；如果在推導矛盾的過程中用了題設條件p做前提，如證法三，或推導出的結果不是﹁p，如證法一、二、四，那么這樣就不是證明逆否命題。

所以，說“反證法就是證明原命題的逆否命題”，僅是用反證法證明命題“pq?”時推出矛盾的一種特殊情況，將這一特殊情況理解為本質是不對的。如果這樣去理解，那么在尋找矛盾時只會局限于與題設的矛盾，降低反證法的威力。因此，在學習反證法時必須明白其實質是“證明命題的否定是錯誤的”，而不是“證明否命題是錯誤的”，從而靈活運用這一方法去解決問題。