空間幾何體初步教學(xué)的一些想法

安徽省祁門縣第一中學(xué) 胡愛軍

空間幾何體初步教學(xué)的一些想法

安徽省祁門縣第一中學(xué) 胡愛軍

空間幾何是培養(yǎng)學(xué)生空間想象能力的重要章節(jié)。空間幾何主要教什么？怎么教？教的哪些是重點(diǎn)？對(duì)于學(xué)生而言，學(xué)習(xí)過程要注重什么？這些教師思考是空間幾何初步教學(xué)的關(guān)鍵。

空間幾何；數(shù)學(xué)；想象能力；代數(shù)；圖形

空間幾何初步是學(xué)生空間想象能力培養(yǎng)的重要章節(jié)。從學(xué)生學(xué)習(xí)空間幾何的現(xiàn)狀來看，學(xué)生在空間感知、傳統(tǒng)幾何公理化體系的認(rèn)知、空間向量代數(shù)化運(yùn)算等環(huán)節(jié)充滿了學(xué)習(xí)障礙。主要因素在于：第一，空間感知是需要培養(yǎng)和創(chuàng)造的，而且不少學(xué)生（尤其是女生）對(duì)于空間幾何體的形態(tài)和想象是極度缺乏的，這與其頭腦中長(zhǎng)期缺乏對(duì)三維空間物體的關(guān)注有關(guān)；第二，傳統(tǒng)公理化體系的數(shù)學(xué)性、嚴(yán)密性無可挑剔，但是公理化體系中諸多定理和性質(zhì)往往被現(xiàn)代數(shù)學(xué)教學(xué)所忽視，對(duì)其的使用頻率也大幅降低，在學(xué)生很多解答問題中的第一選擇上升為向量方式；第三，隨著向量方式的進(jìn)入，空間幾何問題也漸漸成為代數(shù)化趨勢(shì)，吳文俊大師說的向量代數(shù)化手段解決幾何問題恰恰是這一層面的意思。因此筆者以為對(duì)于空間幾何初步教學(xué)，教師要更多的以上述三個(gè)較困難的學(xué)生認(rèn)知層面出發(fā)，循序漸進(jìn)地認(rèn)知空間幾何教學(xué)的難點(diǎn)和重點(diǎn)，在教學(xué)中不斷加以滲透和改進(jìn)，使學(xué)生既獲得知識(shí)，也得到了空間想象能力的提高。

一、空間感知

空間感知是一個(gè)非常抽象的教學(xué)難點(diǎn)。空間幾何初步從三視圖及幾何圖形概念出發(fā)，循序漸進(jìn)地培養(yǎng)學(xué)生的空間感知，教學(xué)中需要加以滲透和體會(huì)。

問題1：在圖中，G、H、M、N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH、MN是異面直線的圖形有________。（填上所有正確答案的序號(hào)）

分析：異面直線是空間感知的難點(diǎn)。從位置關(guān)系來說，空間直線位置關(guān)系有三種，主要是異面、平行、相交（學(xué)生往往將垂直錯(cuò)記為一種位置關(guān)系）。考查異面直線，正是考查了基本的空間感知。證明異面直線在教材中的知識(shí)是反證法為主的一種介入，這在考試要求中并不作為重點(diǎn)。因此，教師引導(dǎo)學(xué)生的判斷主要是從排除相交和平行導(dǎo)致共面的逆向思維為主，從而形成空間感知。很明顯，①、③是平行導(dǎo)致的共面直線，而②中M點(diǎn)不落在面HGN中、④中H點(diǎn)不落在GMN中導(dǎo)致異面直線的存在。因此，對(duì)于類似問題的處理，教師還可以通過幾何模型教具進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的認(rèn)知和理解，從而獲得更好的感知體驗(yàn)。

二、公理化體系

公理化體系是立體幾何傳統(tǒng)教學(xué)的核心和支柱。簡(jiǎn)單來說，公理化體系是建立在四條公理體系基礎(chǔ)上的一系列定理和推論以及常見性質(zhì)組成的證明理論。我們知道，空間幾何的公理是4條，以這四條公理為基準(zhǔn)建立起了8條著名的平行和垂直判定性質(zhì)定理，是學(xué)生解決問題的主要利器。

分析：證明線線垂直有不少方式，主要是從異面直線多成角為直角、線面垂直概念、線線垂直性質(zhì)定理入手，這是公理化體系的方式，教學(xué)中要引導(dǎo)辨別；線面平行的判斷自然是以判定定理為主的論證。公理化體系中空間幾何問題的求解核心思想主要是將問題平面化，因此自然而然地尋找到線面角的位置，在三角形中計(jì)算求解。

三、向量方式

隨著向量代數(shù)特性的引入，不少空間幾何問題獲得了更好的解題體驗(yàn)。從理論上來說，空間幾何問題都可以運(yùn)用向量求解，將幾何問題代數(shù)化成為一種通性通法，其優(yōu)點(diǎn)是培養(yǎng)了學(xué)生問題解決的一般性、快捷性、共性，但是其缺點(diǎn)也是比較明顯，即很有可能大量抹殺學(xué)生的創(chuàng)造性。因此，向量方式解決空間幾何問題成為我們一個(gè)不可或缺的補(bǔ)充，但不能僅僅以此為本原地踏步。

問題3：如圖，正方形ADEF和等腰梯形ABCD垂直，已知BC=2,AD=4，，。（1）求證：面ABF；（2）求異面直線BE與AC所成的角的余弦值；（3）在線段BE上是否存在一點(diǎn)P，使得平面平面BCEF？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由。

由于篇幅有限，此處解析略。

分析：向量方式最大的特征是利用其運(yùn)算的特性，解決了公理化體系中較難的“找、證”環(huán)節(jié)！因此教師教學(xué)需要將代數(shù)化向量運(yùn)算逐步在公理化體系后引入，獲得更多的知識(shí)解決方式。

總之，空間幾何初步教學(xué)要注重上述三方面的介入，以空間感知為主的引入、以公理化體系為本的論證、以代數(shù)化向量運(yùn)算的輔助，這是空間幾何初步教學(xué)必備的、不可或缺的、循序漸進(jìn)的三部曲。

[1]沈恒.浙江七年高考立體幾何自主命題的回顧與前瞻[J].數(shù)學(xué)通訊，2012（10）.

[2]俞求是.高中數(shù)學(xué)新課程立體幾何教學(xué)問題研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2010（2）.

[3]岳儒芳.由高考立體幾何題閱卷引發(fā)的思考[J].數(shù)學(xué)通訊，2014（8）.