淺析初中數學的行程問題和工程問題的聯系與區別

王立

初中的數學應用問題中，行程問題和工程問題無疑是較為特殊的兩種類型，它們應用廣泛，種類繁多，既是相互連通，又是各具特點，下面就這兩種題型略作分析。

首先從概念來看，工程問題的三大要素是：工作總量，工作時間，工作效率，它們的關系可表示為：工作總量=工作時間×工作效率。行程問題的三大要素是：速度，時間，路程，它們的關系可表示為：路程=速度×時間。很顯然，兩者有著相對應的關系。

其次，我們用工程問題的題型與路程問題中的各種典型題型進行比較。

1路程問題中的相遇問題

例1AB兩地相距450km，一輛車每小時行50km，另一輛每小時行40km，兩車分別從兩地同時出發相向而行，問多長時間兩車相遇？

解：設x小時候兩車相遇，由題意，得

（50+40）x=450

現在，我們再把這道題變一變：

變式：有450個零件需要加工，甲每小時加工50個零件，乙每小時加工40個零件。兩人同時工作，問多長時間兩人干完？

解：設x小時候兩人干完，由題意，得

（50+40）x=450

結論：路程=速度和×時間 改為 工作總量=效率和×工作時間

2路程問題中的追及問題

例2晚飯后小明沿一條公路去散步，小明走的慢，每分鐘走60米，所以他先從家出發，5分鐘后，爸爸以每分鐘80米的速度去追小明，經過多長時間以后追上小明？

解：設爸爸x分鐘后追上小明，由題意得

60×5=（80-20）x

同樣，可以改變為：

變式：一個水池裝有一個注水管和一個排水管，單開注水管7小時將水池注滿，單開出水管5小時可將滿池水排干，先開注水管2小時，再開出水管，問多長時間后水池排干？

解：設x小時后可將水池排干，由題意得

[17×2=（15-17）x]

結論：路程差=速度差×時間 改為 工作量差=效率差×工作時間

3船在水中航行問題

例3一艘船在兩個碼頭之間航行，順流需要6個小時，逆流需要8個小時，水流速度為2.5千米/小時，求船在靜水中的航速？

變式：一個施工隊在建造一個移民村落，如果少了1人，8天可建造一排房屋，如果在加上1人，則6天可建造一排房屋，已知一人一天可完成一排房屋的10%，問施工隊原本每天可完成一排房屋的百分之多少？

結論：以路程為等量關系 改為 以一排房屋的工程量為等量關系

另外，將上面的題進行變化，比如說，工程問題改為“如果少1人，8天可建造一排房屋，但如果加上2人，則6天可建造一排房屋”，此時行程問題可改為“逆流需要8個小時，順流時由于上游開閘，水流加快兩倍，需要6個小時”與之對應。

甚至，當路程問題中的總路程沒有給出，也不需要求解時，可以如同工程問題一樣將路程總量規定為1，雖然我們習慣上定為S，但實質上是一樣的.

從以上內容看來，路程問題和行程問題是可以相互轉化的，但是兩者畢竟是不同類型的問題，兩者是否還有不能相互轉化的地方呢？我們看下面這兩個問題。

4行程問題中的火車過橋問題

例4某列車通過一座375米長的橋需要24秒，接著通過第二座231米長的橋用去16秒，求這列車的長度？

結論：此題無法徹底轉換成工程問題，列車本身具有長度，可視為距離的一部分，而工程問題中從理論上來說不可能有哪一個工作單位自身帶有工作量的。

5工程中問題中的替代法問題

例5小明和妹妹兩人搬同樣多的磚塊，小明每分鐘搬自己磚塊的[110]，妹妹每分鐘搬自己磚塊的[115]，現在兩人同時搬自己的磚塊，小明搬完自己的磚后立刻幫妹妹去搬，兩人都完成任務后，共用了多長時間？

結論：這道題是無法徹底轉換成行程問題的，原因是基于行程問題和工程問題的根本區別，簡單形象的描述就是：一個人完成一項工作需要10天，10個人共同完成這項工作需要1天，但是一艘輪船橫渡太平洋需要10天，10艘輪船橫渡太平洋依然需要10天。

綜上所述，行程問題和工程問題由于公式中三大元素的相似性，有很多共通點，這就造成了兩種問題中很多類型的題型都可以相互轉化，但畢竟兩類問題都有各自的特點，有些問題比如工程問題中的替代法問題，火車過橋問題，即使強行轉化也顯得較為牽強，反而體現不出原來的特點。

所以，教師在講述傳授這兩類應用題時不應該強行把這兩類問題混為一談，而應該分門別類，詳細敘述，當學生的理解和認知達到一定程度后，再提出一些典型的便于相互轉化的題型，帶領學生進行分析、領悟。

因為兩類題型種類繁多，只能取其大略進行分析和闡述，難免有疏漏及不足之處，還望指正。