一些解析函數空間上積分算子的范數

羅家平，文 郵

（嘉應學院數學學院 廣東 梅州 514015）

一些解析函數空間上積分算子的范數

羅家平，文 郵

（嘉應學院數學學院 廣東 梅州 514015）

若f是單位圓盤D上的解析函數，Volterra積分算子定義如下：

文章給出了Jg在不同的解析函數空間上的范數計算.

范數；積分算子；解析函數空間

1 引言

令D＝{z:z＜1}是復平面C上的單位圓盤.H（D）表示單位圓盤D上的解析函數.定義1.1當0＜p＜∞，若對f∈H（D），且滿足

定義1.2當α＞0，α-Bloch空間記為Bα.若f∈H（D），Bα空間由滿足下列條件的函數組成：

特別地，當α＝1時，Bα記為B.

定義1.3當0≤s＜∞，0＜p＜∞.若f∈H（D）且滿足

則稱f屬于Hp.H∞稱為Bers-型空間，對f∈H∞，有

對空間H∞s賦予范數H∞，則H∞s為巴拿赫空間.

定義1.4當0≤p＜∞，若f∈H（D）且滿足f'∈Hp，該空間記為Sp.對Sp賦予以下范數

則Sp為巴拿赫空間.

定義1.5當-1＜α＜∞，若f∈H（D）且滿足

則稱f屬于Dα.

定義1.6假設g∶D→C1是全純映射且h∈H（D）.積分算子Jg也稱為Volterra型算子定義如下：

定義1.7若T為解析函數空間上的算子，T的范數為

Pommerenke在文獻[11]中證明積分算子Jg在Hardy空間上有界性的充要條件；Bergman空間上積分算子Jg有界性的充要條件見文獻[2-3]；關于積分算子Jg的其他結論可見文獻[1-4，6-10].在本論文中，討論了積分算子Jg在不同的解析函數空間上范數的估計.

2 主要結論與證明

在這一節中，將給出主要結論與證明.結論的證明需要用到下面的引理.

首先給出Jg從Hα∞到Bα的范數，結論如下：

定理2.2設0≤α＜∞.如果g∈H（D），積分算子Jg從到Bα有界的充分必要條件是supz∈D.進一步，有.

因此

反之，記c＝supz∈Dg（'z）.對任意ε＞0，存在z1∈D，使得g（'z1）＞c-ε.令

很容易驗證h∈Hα∞且hH∞＝1.又由

和

由ε的任意性，可得

由（7）和（11）可得結論.證畢.

因此

反之，記c＝supz∈Dg（'z）.對任意ε＞0，存在z1∈D，使得g（'z1）＞c-ε.令

令z＝reiθ，由Poisson積分方程可得

且有 h（z1）（1-z12）1/p＝1，所以

由ε的任意性，可得

由（12）和（13）可得結論.證畢.

最后，給出Jg從H∞到其他解析函數空間上有界的范數，結論如下：

定理5下列結論成立：

（1）設-1＜α＜∞.如果g∈H（D），積分算子Jg從H∞到Dα有界的充分必要條件是supz∈Dg（'z）＜∞.進一步，有

定理5的證明與文獻[10]中的引理3.3類似，在此省略.

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[11]POMMERENKE C.Schlichte funktionen and analytische funktionen von beschrankter mittlerer oszillation [J].Comment Math Helv，1977，52（3）：591-602.

Norm of an Integral Operator on Some Analytic Function Spaces

LUO Jiaping,WEN You
（School of Mathematics,JiayingUniversity,Meizhou 514015,Guangdong,China）

norm;integral operator;analytic function spaces

TP391

A

1001-4217（2017）03-0042-04

2016-09-02

羅家平（1994—），女，漢族，研究方向為函數空間與算子理論.

基目項目：廣東大學生科技創新培育專項資金（“攀登計劃”專項資金）資助（pdjh20160465）.