偽補MS代數的理想與濾子同余關系的注記

趙秀蘭，呂鳳姣，陳麗娟

（1.黃河科技學院數理部，河南 鄭州，450063；2.河南工程學院理學院，河南 鄭州，450007）

ZHAO Xiulan1,Lü Fengjiao1,CHEN Lijuan2

（1.Department of Mathematics and Physics,Huanghe Science and TechnologyCollege,Zhengzhou 450063,Henan,China; 2.Henan Institute of Engineering,Zhengzhou 450007,Henan,China）

偽補MS代數的理想與濾子同余關系的注記

趙秀蘭1，呂鳳姣1，陳麗娟2

（1.黃河科技學院數理部，河南 鄭州，450063；2.河南工程學院理學院，河南 鄭州，450007）

依據偽補MS代數的核理想及余核濾子判別定理以及核理想和余核濾子所生成的同余關系表達式，研究了偽補MS代數的核理想和余核濾子同余關系的同余置換性，證明了偽補MS代數核理想格和余核濾子格是同構的.

Ockham代數；偽補代數；偽補MS代數；核理想；余核濾子；同構

0引言

在泛代數研究領域，對代數結構的研究，一直是本專業學者關注的方向.理想和濾子是人們認識Ockham代數類的結構及同余關系的一個重要工具，特別是核理想與余核濾子的同余關系反映Ockham代數類的結構.在文獻[1-8]中，作者在相應的代數類上引入理想與濾子，以理想與濾子為載體刻畫代數結構.文獻[4-5]研究了偽補MS代數的理想和濾子，給出了偽補MS代數具有核理想和余核濾子同余關系表達式以及核理想和余核濾子判別定理.文獻[9]首次引入偽補MS代數的概念，在這篇文獻中，作者定義了偽補MS代數，描述了偽補MS代數的運算性質，給出了偽補MS代數的主同余表示定理（偽補MS代數的詳細信息見文獻[10-12]）.本文作為文獻[4-5]的一個補充，在偽補MS代數的理想和濾子已有結論的基礎上，進一步討論偽補MS代數核理想與余核濾子同余關系的性質.

1 基本知識

定義1.1[13]設（L；∧，∨）是一個格，I是格L的子格，若x，y∈L，y≤x∈I總有y∈I，稱子格I是格L的理想.對偶地，F是格L的子格，若x，y∈L，y≥x∈F總有y∈F，稱子格F是格L的濾子.

便于闡述，沿用文獻[13]中的符號，記I（L），F（L）分別代表L的全體理想和全體濾子所構成的集合.設I，J∈I（L），F1，F2∈F（L），定義

定義1.2[10]設（L；∧，∨，0，1）是一個有界分配格，其上賦予一個一元運算o，且滿足下列條件：

（1）（?x∈L）x≤xoo；

（2）（?x，y∈L）（x∧y）o＝xo∧yo；

（3）1o＝0.

稱（L；∧，∨，o，0，1）為MS代數.

定義1.3[11-12]一個偽補代數（簡稱p-代數）是一個代數（L；∧，∨，*，0，1），它具有一個最小元0及一個映射*：L→L使得x*＝max{y∈L∧y＝0}.

定義1.4[9]設（L；∧，∨，0，1）是一個有界分配格，其上賦予兩個一元運算*和o，其中（L；*）是p-代數，（L；）°是MS-代數，并且一元運算*和o滿足條件（x∈L）x*°＝x°*，稱（L；∧，∨，*，o，0，1）是偽補MS-代數（簡稱pMS-代數）.

定義1.5[9]設（L；∧，∨，*，o，0，1）是pMS-代數，θ是L的一個格同余關系，若

（x，y）∈θ?（x*，y*）∈θ，（（fx），（fy））∈θ，

則稱θ是L的同余關系.符號ConL表示L的全體同余關系構成的集合.

定義1.6[11-12]設（L；∧，∨，*，o，0，1）是pMS-代數，對于L的理想I，若存在L的一個

對于L的濾子F，若存在L的一個同余關系φ，使得F＝Cokerφ，其中

稱濾子F為L的余核濾子.

引理1.1[9]設（L；∧，∨，*，o，0，1）是pMS-代數，則有下列結論：

（1）（?a∈L）ao*o＝a*oo＝aoo*＝a*；

（2）（?a∈L）a*o*＝ao**＝a**o＝ao；

（3）（?a∈L）a**＝aoo；

（4）（?a，b∈L）（a∧b）*＝a*∨b*

現給出pMS-代數核理想，余核濾子的判別定理.

引理1.2[4-5]設（L；∨，∧，*，o，0，1）是一個pMS-代數，I是L的理想，F是L的濾子，則

（1）I是L的核理想，當且僅當（a∈L）a∈I?{a**，a*°}?I；

（2）F是L的余核濾子當且僅當（?a∈L）a∈F?a*°∈F.

設L是pMS-代數，符號KI（L）表示L的全體核理想構成的集合.符號CokF（L）表示L的全體余核濾子構成的集合.

引理1.3[4-5]

（1）設L是pMS-代數，則K（IL）是（IL）的子格.

（2）設L是pMS-代數，CokF（L）是F（L）的子格.

引理1.4[4]設（L；∨，∧，*，o，0，1）是pMS-代數，I是L的核理想，則下列命題等價：

（1）（x，y∈L）（x，y）∈θ（I）；

（2）（?i∈I）x∨i＝y∨i；

（3）（?i，j∈I）（x∨i）∧j*＝（y∨i）∧j*.

引理1.5[5]設（L；∨，∧，*，o，0，1）是一個pMS-代數，F是L的余核濾子，則（x，y）∈θ（F）?（?a，b∈F）（x∧a）∨b°＝（y∧a）∨b°.

引理1.6設（L；∨，∧，*，°，0，1）是一個pMS-代數，F是L的余核濾子，則下列命題等價：

（1）（x，y∈L）（x，y）∈θ（F）；

（2）（?i∈F）x∧i＝y∧i；

（3）（?a，b∈F）（x∧a）∨b°＝（y∧a）∨b°.

證明 由引理1.5知，（1）與（3）等價.易見，（2）?（3），下證（3）?（2）.

假設（3）成立，則（?a，b∈F）（x∧a）∨b°＝（y∧a）∨b°.由引理1.1知，b°＝b°**，故

[（x∧a）∨b°**]∧b°*＝[（y∧a）∨b°**]∧b°*，根據分配性及b°**∧b°*＝0，可得x∧a∧b°*＝y∧a∧b°*.由引理1.2知，b°*∈F，又因a∈F，從而a∧b°*∈F，所以（2）成立.

設（L；∨，∧，*，o，0，1）是一個pMS-代數，I是L的核理想，F是L的余核濾子，在L上定義一個等價關系RI和RF如下：（x，y）∈RI?（?i∈I）x∨i＝y∨i；（x，y）∈RF?（?i∈F）x∧i＝y∧i.

在文獻[4]和[5]中，已論證過RI∈ConL，RF∈ConL且I＝KerRI，F＝KerRF.

在第2部分，將分別探討核理想與余核濾子及其對應的核理想同余關系與余核濾子同余關系之間的同構關系，偽補MS代數核理想格與其余核濾子格的同構關系.

2 主要結果

定理2.1設（L；∨，∧，*，o，0，1）是1個pMS-代數，則

（1）（I，J∈K（IL））I≤J?RI≤RJ；

（2）（F1，F2∈CokF（L））F1≤F2?RF1≤RF2

證明（1）設I，J∈K（IL），I≤J，由RI，RJ的定義知，RI≤RJ.

另一方面，設I，J∈KI（L），RI≤RJ，則KerRI≤KerRJ.由文獻[4]知，I＝KerRI，J＝KerRJ，所以I≤J.

（2）設F1，F2∈CokF（L），由RF1，RF2的定義知，若F1≤F2，則RF1≤RF2.

另一方面，設F1，F2∈CokF（L），由文獻[5]知，F1＝CokerRF1F2＝CokerRF2.所以，若RF1≤RF2，CokerRF1≤CokerRF2，故RF1≤RF2.

設L是pMS代數，θ，φ∈ConL，定義L上的一個等價關系.

（x，y）∈θφ?（?z∈L）（x，z）∈θ，（z，y）∈φ.

易見，θφ是L上的同余關系.

若θ，φ∈ConL，且θ，φ滿足關系式θφ＝φ θ，則稱同余關系θ，φ具有同余置換性.

對于任意的I1，I2∈K（IL），F1，F2∈CokF（L），則RI1，RI2及RF1，RF2具有同余置換性.

定理2.2設（L；∨，∧，*，°，0，1）是1個pMS-代數，I，J∈K（IL），F1，F2∈CokF（L），則

（1）RIRJ＝RJRI；

（2）RF1RF2＝RF2RF1.

證明（1）令（x，y）∈RIRJ，則存在z∈L，使得（x，z）∈RI，（z，y）∈RJ.于是存在

i∈I，j∈J使得x∨i＝z∨i，z∨j＝y∨j.

所以x∨i∨j＝y∨i∨j

令t＝（x∨j）∧（y∨i），則

x＝x∧（x∨i∨j）≡RJ（x∨j）∧（x∨i∨j）＝（x∨j）∧（y∨i∨j）≡RJ（x∨j）∧（y∨i）.

所以，（x，t）∈RJ.

又因

t∨i＝（（x∨j）∧（y∨i））∨i＝（x∨i1∨i2）∧（y∨i1）＝i∨（（x∨i∨j）∧y），所以

即t≡RIy.因此（x，y）∈RJRI，從而得到RIRJ≤RJRI.類似地，可得到相反的不等式，因此（1）成立.（2）假設（x，y）∈RF1RF2，則存在z∈L，使得（x，z）∈RF1，（z，y）∈RF2，則存在f1∈F1，f2∈F2，有x∧f1＝z∧f1，z∧f2＝y∧f2.所以x∧f1∧f2＝y∧f1∧f2.

令s＝（x∧f2）∨（y∧f1），從而可得

因此，（x，s）∈RF2.

又因s∧f1＝（x∧f1∧f2）∨（y∧f1）＝（[x∧f1∧f2）∨y]∧f1，

所以s≡RF1（x∧f1∧f2）∨y＝（y∧f1∧f2）∨y＝y.

即s≡RF1y.所以（x，y）∈RF2RF1，從而得到RF1RF2≤RF2RF1.

類似地，可得到相反的不等式，因此（2）成立.

定理2.3

（1）K（IL）?Con（kL）；

（2）CokF（L）?Con（FL）.

證明（1）先證I，J∈KI（L），有RI∧RJ＝RI∧J.由引理1.3知，I∧J∈KI（L）.又因I∧J≤I，I∧J≤J，故由定理2.1知，RI∧J≤RI，RI∧J≤RJ，所以RI∧J≤RI∧RJ.

設（x，y）∈RI∧RJ，由文獻[13]知，（x，y）∈RI且（x，y）∈RJ，則存在i∈I，j∈J使得x∨i＝y∨i，x∨j＝y∨j.從而（x∨i）∧（x∨j）＝（y∨i）∧（y∨j）.于是x∨（i∧j）＝y∨（i∧j）.又因i∧j∈I∧J，故（x，y）∈RI∧J，所以RI∧RJ≤RI∧J.因此RI∧RJ＝RI∧J.

再證對任意的I，J∈KI（L），有RI∨RJ＝RI∨J.由引理1.3知，I∨J∈K（IL）.

注意到I∨J≥I，I∨J≥J，由定理2.1知，RI∨J≥RI，RI∨J≥RJ，所以RI∨J≥RI∨RJ.

設（x，y）∈RI∨J，則存在i∈I及i∈J使x∨i∨j＝y∨i∨j，從而有

故（x，y）∈RI∨RJ，所以有RI∨J≤RI∨RJ，因此RI∨RJ＝RI∨J.

又因RI＝RJ當且僅當I＝KerRI＝KerRJ＝J，所以映射：I→RI建立起K（IL）→Con（kL）的一一對應，所以K（IL）?Con（kL）.（2）對偶地，可證CokF（L）?Con（FL）.

設L是pMS代數，對于L的每一個余核濾子F和核理想I，記集合，β（F）＝{x∈（?a∈F）x≤ao}，α（I）＝{x∈L（?a∈I）x≥a*}.

定理2.4設（L；∨，∧，*，o，0，1）是1個pMS-代數，又設I及F分別是L的核理想與余核濾子，則

（1）α（I）是L的余核濾子；

（2）β（F）是L的核理想.

證明（1）易得，α（I）是L的濾子.設x∈α（I），則存在a∈I，使得

由引理1.2知，I是L的核理想，則a*o∈I，所以x*o∈α（I）.又有引理1.2可得，α（I）是L的余核濾子.

（2）顯然，β（F）是L的理想.設x∈β（F），則存在a∈F，使得

x≤ao，x**≤ao**＝（a*）*o，x*o≤ao*o＝（ao）*o，

由引理1.2知，a**，a*o∈F.所以x**，x*o∈β（F）.又有引理1.2得，β（F）是L的核理想.

根據RI，RF的定義，那么，余核濾子α（I）和核理想β（F）的同余關系將與核理想I與余核濾子F之間建立下列等式關系.

定理2.5設（L；∨，∧，*，o，0，1）是1個pMS-代數，I是L的核理想，則θ（I）＝θ（α（I））.

證明 設（x，y）∈θ（I），由引理1.4知，則有（?i∈I）x∨i＝y∨i，從而得

根據分配性及i∧i*＝0，故x∧i*＝y∧i*.又因i*∈α（I），故由引理1.6知，（x，y）∈θ（α（I））.所以θ（I）?θ（α（I））.

另一方面，設（x，y）∈θ（α（I）），由引理1.5知，存在a，b∈α（I），使得

（x∧a）∨b°＝（y∧a）∨b°.由于a，b∈α（I），則存在i，j∈I，有a≥i*，b≥j*，從而bo≤j*o.故（x∧a）∨j*o＝（y∧a）∨j*o.根據分配性得

故

因為a≥i*，所以

由于j*o，i∈I，由引理1.4知，（x，y）∈θ（I）.所以θ（α（I））?θ（I）.因此θ（I）＝θ（α（I））.

對于θ（β（F）），θ（F），不存在關系式θ（β（F））＝θ（F），只滿足如下關系式.

定理2.6 θ（β（F））?θ（F）.

證明 設（x，y）∈θ（β（F）），由引理1.4知，存在a，b∈β（F），（x∨a）∧b*＝（y∨a）∧b*.由a，b∈β（F），存在i，j∈F，使得a≤io，b≤jo.所以

故

從而（x∧jo）*∨io＝（y∧jo）*∨io.故由引理4知，（x，y）∈θ（F），所以θ（β（F））?θ（F）.

下面，舉反例說明θ（F）?θ（β（F））.設（L；∨，∧，*，°，0，1）是1個pMS-代數，如圖1所示.

令F＝{a，1}，由β（F）的定義知，β（F）＝{0}.易見（a，1）∈θ（F），但（a，1）?θ（β（F））.若（a，1）∈θ（β（F）），則a∨0＝1∨0＝1，故a＝1，此a≠1與相矛盾，故θ（F）?θ（β（F））.

定理2.7（1）β（α（I））＝I；（2）α（β（F））＝F.

證明（1）由定理2.4知，β（α（I））是L的核理想.設x∈β（α（I）），當且僅當存在a∈α（I），使得x≤ao.由a∈α（I），當且僅當存在i∈I，使得a≥i*，所以x≤i*o.由引理1.2知，i*o∈I，從而x∈I，故β（α（I））＝I.

（2）由定理2.4知，α（β（F））是L的余核濾子.設x∈α（β（F）），當且僅當存在a∈β（F）使得x≥a*.由a∈β（F），當且僅當存在j∈F，使得a≤jo，即x≥jo*.由引理1.2知，jo*∈F，從而x∈F，故α（β（F））＝F.

設L是pMS代數，對于L的核理想集KI（L）和余核濾子集CokF（L），有下列定理.

定理2.8 KI（L）?CokF（L）.

證明 定義映射f∶KI（L）→CokF（L）和映射g∶CokF（L）→KI（L），使得

?I∈KI（L），f（I）＝α（I），

?F∈CokF（L），g（F）＝β（F）.設I1，I2∈KI（L），F1，F2∈CokF（L），由引理1.3知，

I1∧I2，I1∨I2∈KI（L），F1∧F2，F1∨F2∈CokF（L）.

又由定理2.4知，

圖1

由定理2.3和定理2.8，易得下列結論.

推論2.1 Conk（L）?KI（L）?CokF（L）?ConF（L）.

3 結論

本文在文獻[4]和[5]的基礎上，利用偽補MS代數的核理想和余核濾子判別定理以及它們的同余關系表達式，論證了偽補MS代數的核理想和余核濾子同余關系的同余置換性，獲得

了偽補MS代數核理想格和余核濾子格同構的結論.這一結論有助于我們了解偽補MS代數的結構，同時豐富了序代數結構的研究.

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A Note on the Ideal and Filter Congruence Relations on Pseudo Complement MS Algebras

By using the discriminant theorem of kernel ideals and co-kernel filters on pseudo complemented MS algebras,the expression of the kernel ideals,co-kernel filters congruence relations are obtained.It is shown that the congruence permutation of kernel ideals and co-kernel filters,the lattice of kernel ideals and the lattice of co-kernel filters are isomorphic.

Ockham algebra;pseudo complemented algebra;pseudo complement MS algebra; kernel ideal;co-kernel filter;isomorphism

ZHAO Xiulan1,Lü Fengjiao1,CHEN Lijuan2

（1.Department of Mathematics and Physics,Huanghe Science and TechnologyCollege,Zhengzhou 450063,Henan,China; 2.Henan Institute of Engineering,Zhengzhou 450007,Henan,China）

O151

A

1001-4217（2017）03-0022-07

2016-08-26

趙秀蘭（1982—），女，河南周口人，副教授，碩士，研究方向：格論與序代數.E-mail：xiulanz@126.com.

國家自然科學基金資助項目（11302072）.