HPM視角下的高中數學教學優化設計例析

陳天宇

[摘 要] 數學史以其豐富的數學思想方法、深刻的數學文化內涵，成為創造學生數學學習動機的重要載體. 文章基于學生數學學習的認知發展過程，結合高中數學的學科特點及課程理念，從HPM的視角對高中數學教學設計做出優化和改進方案，論述了數學史無可比擬的教育價值.

[關鍵詞] 數學史；數學教學；教學設計

數學是推動科技發展的關鍵學科之一，也是伴隨人類社會發展生生不息的一門學科. 評價如此之高的數學學科，學生怎會對其缺乏興趣，而喪失學習動機呢？HPM研究很好地回答了這一問題.

[?] HPM研究的意義和價值

毋庸置疑，數學教學的最終目的是促進學生對數學知識的理解和運用，教學設計也必須基于這一目標進行. 盡管各個教學環節的設計經過精心打磨，從情境引入，到復習舊知，到活動探究，最后到歸納總結，都看似很“完美”，且銜接過渡順暢，其中不乏教師的些許創意. 但大多數情況下，學生學習數學的主動性很難被調動起來，只是被動地接受一些概念、性質、定理、公式、解法等具體的數學知識，卻無暇顧及對“為什么要學”、“學到的內容有什么用”等問題的思考，消退和遺忘成為時間推移的必然結果.

HPM（History and Pedagogy of Mathematics），含義為“數學史在數學教學中的滲透”，自1972年第二屆國際數學教育大會上第一個HPM國際研究小組成立以來，一直備受廣大數學教育工作者的關注. HPM研究主要涉及數學教育取向的數學史研究、基于數學史的教學設計、歷史相似性研究、數學史融入數學教學的行動研究四個方面.

數學教育除了數學技術的教學，還應該有人文精神的傳承.重結果，輕過程的數學教育是走不遠的，隨著學習的深入，學生只會更加討厭數學. 數學史恰好提供了這樣一個平臺，從歷史的角度重新審視數學知識，關注數學知識的發生和形成過程，對學習數學知識的必要性給予了強有力的回答，豐富教師的課堂教學，激發學生的學習興趣，預見學生的認知發展，促進學生的數學理解培養學生的人文氣息. 既然數學教育的目的是培養學生終身發展所需的6個核心素養，那么數學史就是維持學生終身學習數學的精神支柱[1].

[?] HPM視角下的教學設計優化案例

1. 歷史發生原理的啟示

虛數的概念在高中數學體系中無疑是一大亮點，將數系從實數域擴張到了復數域. 可能是因為復數在高考中的地位無足輕重，無非是一道選擇題或填空題，廣大教師們在引入虛數概念時，搬用教材上的x2+1=0在實數域上無解的例子，從而定義i=，i為虛數單位. 如此展開教學顯然是不合適的，要知道數學家們花了三百多年才理解復數，我們的學生在寥寥幾語中就能明白虛數為何物了嗎？我們不妨追溯一下數學家探索虛數的歷程.

后來，笛卡爾在他的著作《幾何學》中對負數開平方后得到的數起名為“imaginary figure”，意為“虛無縹緲的數”，虛數單位i正是來源于此.

由此可見，17世紀一流的頭腦在面對虛數時都會如此困惑不解，我們的學生在短短幾分鐘內就能超越古人理解虛數了嗎？顯然，用x2+1=0引入虛數是失敗的. 學生對數學問題的理解過程和數學在歷史上的發展過程具有相似性，此即為歷史發生原理.正如M·克萊因所說：“歷史上數學家們所遇到的困難，也正是學生的學習障礙”. 因此，借助卡爾達諾和萊布尼茲的例子作為引入更能激起學生認知結構的沖突，前者讓學生初步感知虛數的存在，后者讓學生感受虛數和實數之間存在某種聯系，從而為學生創造學習動機.

2. 在歷史中尋找數學認知起點

如果要深入數學史與數學教育的關系層面，就必須考慮知識的發生過程，教師除了教授新的知識點，還要尋找學生的認知起點，把新知識建立在學生已有認知基礎之上.

導數的幾何意義是刻畫函數單調性的重要工具，也是溝通初等數學與高等數學的橋梁. 學生在瞬時變化率概念和極限思想Δx→0的引導下，理解了導數的定義. 在引入導數的幾何意義時，常用的方法是運用極限的思想，將曲線上兩點的割線的斜率轉化為曲線在其中某一點處切線的斜率. 該方法實質上是從導數的定義式入手，聯系直線的斜率公式k=，再將兩點無限逼近，從割線過渡到切線. 其不足之處也是顯而易見的，其一，忽視了研究曲線的切線的數學背景，學生不能認識到為何要通過割線來引入切線；其二，沒有對曲線的切線做明確定義，學生容易將其和其他概念相混淆，缺乏嚴謹性. 帶著這兩個問題，我們不妨去數學史中尋找改進措施.[3]

切線問題被數學家譽為17世紀最有用的數學問題，為此我們不妨先了解一下切線的歷史，這樣才能讓學生知道我們為何要引入切線. 歷史上切線研究的必要性源于三大問題：①光學問題.光在平面上的反射規律，人們早已耳熟能詳，入射角=反射角，那么曲面上光的反射規律如何探究，入射角和反射角該如何確定？這就需要找出入射點處的切線位置.②運動問題. 做曲線運動的質點在某一時刻的運動方向如何確定？沒有切線角？更為一般的，一條曲線和一條直線存在夾角嗎？寸步難行. ③曲線夾角問題. 兩條相交的曲線是否存在夾角？圖1所示，過圓上一點作圓的切線，圓和直線之間有夾角嗎？假設夾角不存在，可以在切點處構造一個半徑較小的圓與直線相切，如圖2所示. 如此一來，直觀感覺上切點附近弧與直線間的空間增加了. 但反之，如果夾角存在，歐幾里得卻又令我們很失望，他在《幾何原本》中給出命題：“過圓上一點有且僅有一條切線.” 換言之，圓和切線之間插入的第二條直線必然和圓相交于兩點，如此說來，角是不存在的. 古希臘數學家們在沒有微積分的情況下對此是束手無策的. 所以在17世紀，來自光學、力學、幾何學三大領域的問題令數學家們感受到研究更為一般的曲線的切線的必要性.

教師可以從圓出發，讓學生回顧圓的切線的定義. 圓的切線主要有3種定義方式，分別為：①與圓只有一個公共點的直線，②過圓上一點且垂直于該點與圓心連線的直線，③到圓心的距離等于圓的半徑的直線. 接著，讓學生反思，上述定義是否適用于圓錐曲線呢？顯然不適用，以拋物線為例，對稱軸與拋物線只有一個焦點，但不是切線. 學生很自然會對定義添加約束條件，得到“與曲線只有一個公共點且不穿過曲線的直線”. 這就是古希臘數學家給出的適用于圓錐曲線的切線定義，但是適用于更為一般的曲線嗎？反之，如圖3所示的直線與三角函數y=sinx的圖像有不止一個交點，它是曲線的切線嗎？如此展開教學的目的在于啟發學生重新審視自己的數學認知，激發學習動機.