高中數學教學中數學思維能力的培養

黃愛軍

高中的數學教學，在培養學生的邏輯思維能力方面起著至關重要的作用。因此教師在教學過程中，一方面需要加強知識的傳授，另一方面也不能忽視對學生思維能力的培養，將歸納演繹、比較分析、反證等數學思維應用于數學解題過程之中，從而深入探究數學的內涵。本文針對培養學生的數學思維能力提出了幾點看法。

在高中學習中，數學課程作為一門邏輯性很強的計算科學，要求學生有嚴謹的邏輯思維能力，以及扎實的計算能力。因此在高中數學教學的過程中，教室應該以學生為主體，充分發揮學生的主觀能動性。培養學生的自主思考以及發散且嚴謹的數學思維模式必須在授課過程中得到充分的重視。

1 注重探究性教學，培養自主思考能力

在數學教學過程中，教師應該激發學生獨立思考的能力，同時通過在課堂上布置相應的思考題代替單方面的傳授知識，努力發散學生的思維，在思考的過程中培養數學思維能力。同時對于一些較為抽象的數學知識或者數學問題，教師應該將學生分為若干小組，通過小組內對問題的探究分析，并相互交流的方式解決數學問題，從而培養學生的數學思維能力。以人教版數學課程《函數的圖像及其性質》為例，教師在教授對數函數的相關性質時，可以不忙于將函數圖像作出，而是通過學生對指數函數圖像的理解，通過構造反函數的方式，將指數函數的自變量與因變量互換，從而自主作出對數函數的圖像；在分析對數函數定義域，值域等性質時，教師也可以通過學生自主學習的方式，讓學生根據指數函數的相關性質類比出對數函數性質，從而培養學生舉一反三的數學思維以及類比能力。在此課程教學中，教學難點是對于底數不同的對數函數，如何判斷對應函數值的大小。教師在授課過程中，可以通過小組討論的方式，讓學生分別作出幾組底數不同的對數圖像，先根據圖像的大致趨勢判斷函數大小，接著讓學生思考圖像中蘊含的根本原理，即為什么會出現底數不同函數值不同的原因。通過層層設問的方式引發學生自主思考問題的本質，培養學生自主發現問題并解決問題的思維能力。

2 對比教學，培養學生的類比能力

在高中數學的教學中，二次曲線內容一直被作為重點難點，在各省的高考試卷中，時常會作為壓軸題或者難度較大的解答題出現，這些題往往考察學生是否具備扎實的計算能力以及相應的解題技巧。因此教師在授課過程中，一方面要通過做題加強學生計算能力，另一方面也要通過對比教學，找出相關知識點中存在的共同點，并傳授學生相應的類比技巧。因為作為出題者，也是通過類比的方式設置出新穎題型的。

以人教版教材中二次曲線的橢圓為例，對于橢圓的考察中，在計算量方面對學生的要求較高。尤其是定點，切線等問題要求學生有較高的思維嚴密性。以切線問題為例，傳統的求解過橢圓上某一點的切線方程是通過設直線斜率，列出直線方程，與橢圓方程聯立后，根據一元二次方程有相同根的性質求解斜率，最終得出切線方程；要求較高，技巧性較強的方法有隱函數求導，參數求導法。但是這些方法的計算要求較高，而且在高考中使用較為耗時，因此教師可以通過類比的方式，首先給出已經學過的過圓上一點的切斜方稱公式，并將圓與橢圓進行類比，兩者的差別僅在于橢圓長軸短軸不同，而圓可以理解為兩軸相同的特殊橢圓，因此只要在圓的切線方程中加入橢圓所特有的元素：長軸短軸參數，就可以類比出橢圓的切線方程。

通過對比的方式，為學生提供了除計算以外的另一種思維方式，一方面增加了學生對數學概念的認知，豐富了知識儲備；另一方面讓學生感受到數學的奧妙，同時培養了在學習中進行類比的思維能力。

3 一題多解，培養學生的發散思維

對于稍微復雜的數學問題，其解法往往不止一種，而有時學生卻存在看到題目無從下手的情況，這主要是因為學生在平時訓練過程中，局限在自己解決問題的思維之中，遇到稍微變化的題目便會陷入思維盲區，發現通過自己的處理手法無法解決問題，從而惡性循環，導致思維的閉塞。為了解決上述問題，教師在授課以及解答過程中，應多角度的進行講解或者分析問題，通過多種解決方式的傳授培養學生的發散性思維，有利于學生從多個角度對問題進行分析。

例：已知x、y≥0且x+y=1，求x2+y2的取值范圍。對于這道題，有如下幾種解法可以供學生使用，借助函數的思考方法，可以給出第一種方法：

由x+y=1得y=1-x，則x2+y2= x2+（1-x）2=2x2-2x+1=2（x- ）2+

根據二次函數的圖象與性質得出最終的結果。

第二種方法結合了三角換元的思想，將問題轉化成三角恒等式后進行解答：

由于x+y=1，x、y≥0，則可設x=cos2θ， y=sin2θ，則x2+y2= + cos4θ，根據三角函數得出最終的結果。

第三種方法是通過對稱換元的思想設x=+t， y=-t，于是，x2+y2= （ +t）2+

（ -t）2= +2t2并通過計算給出最終結果。

第四種方法利用運用基本不等式，由于x、y≥0且x+y=1。則 xy≤=

，從而0≤xy≤ 于是，x2+y2=（x+y）2-2xy= 1-2xy計算給出最終結果。

第五種方法采取構造幾何圖像，設d= x2+y2，則d為動點C（x， y）到原點（0，0）的距離，于是只需求線段上的點到原點的最大和最小距離就可。

4 總結

本文結合筆者的經驗，并結合教學中相應的重點難點，從探究教學，對比教學以及一題多解三個方面進行了深入分析，以利于在數學教學中提高學生的自主學習能力，類比能力以及發散性思維的能力。

（作者單位：湖南省永州市工商職業中專）