由“木尺斷口”問題淺談數學模型在教學中的滲透

汪赫

數學家布克說過：“模型化是數學中的一個基本概念，它處于所有數學應用之心臟，也處于某些最抽象的純數學的核心之中”。而所謂“模型化”就是將原本復雜的、具有現實背景的或多樣化表現形式的問題本質化、簡潔化、一般化，并最終以數學符號、語言、關系式等形式表達出來。數學模型思想在全日制義務教育階段的總體要求是“滲透”，那么考慮到初中生的認識能力和理解水平，怎樣在平時的教學中滲透數學模型思想呢？《數學課程標準》倡導以“問題情境-建立模型-解釋、應用與拓展（反思）”作為中小學數學課程的一種基本表述模式，這就需要教師在平時的教學中善于發現和利用教材中常見的數學模型以及平時例題、練習中出現的數學模型，培養學生模型化思維，簡化解題過程，拓寬解題思路。

現我以浙教版初一下學期第一章《平行線》常常出現的“木尺斷口”問題為例。

何為“木尺斷口”問題？如圖1所示，是一根木尺折斷后的情形，由于木尺折斷后的斷口一般是參差不齊的，我們不妨把這類平行線的問題稱為“木尺斷口”問題。

一、基本圖形和基本方法

（1）基本圖形：

①基本圖形“凹”型，如圖2，已知AB∥CD，求∠B，∠E，∠D三個角之間的關系。

②基本圖形“凸”型，如圖3，已知AB∥CD，求∠B，∠E，∠D三個角之間的關系。

（2）基本方法：得到結論的方法有很多，本題也是進行初步輔助線教學的典例，但是最常見也是學生最容易想到的方法之一就是過點E做AB或者CD的平行線，從而利用“兩直線平行，內錯角相等”得到結論。

（3）基本結論：

①基本圖形“凹”型：∠E=∠B+∠D。

②基本圖形“凸”型：∠E+∠B+∠D=360°。

二、應用基本圖形和基本方法

（1）基本圖形的應用

例1：如圖4，已知直線l1∥l2，將一把含30°角的直角三角尺按如圖所示的位置放置，∠1=25°，則∠2等于（B）

【評析】顯然本題也可以由左側的基本圖形“凸”型解決。通過此題，大大地縮短了學生的思維長度。

（2）基本方法的應用

例2：如圖6，已知AB∥CD。

（1）請說明∠B+∠G+∠D=∠E+∠F的理由。

（2）若將圖6變形成圖7，上面的關系式是否仍成立？寫出你的結論并說明理由。

【分析】圖6明顯是由多個基本圖形復合而成的圖形，可以借助于基本圖形中的基本方法輕松解決問題，圖7的圖形與圖6的圖形有較大的相似度，可以模仿解決圖6的方法解決圖7。

【得出結論】由上題可引導學生總結出進一步的模型結論：類似的“木尺斷口”問題中，所有“凸”角的和等于所有“凹”角的和。

通過以上例子的分析和解答，應在教學中注意例題和練習中數學模型的發現、推廣和應用。不僅注意模型本身的推廣，也要注意方法的推廣，讓學生初步建立模型思想，明白數學中的概念、原理、法則、定理等實際上是所研究對象經抽象之后而成的一種符號表達，是對所研究對象的模擬與模型化。數學其實也是一種模型的科學，數學研究的過程就是模型化的過程。

參考文獻：

1.李明振.數學建模方法研究.南京：江蘇教育出版社，2014.

2.李善良.初中數學教學實踐與反思.長春：東北師范大學出版社，2012.

3.傅佑珊.平面幾何基本圖形的方法與教學實踐北京教育學院學報，1997.

（作者單位：浙江省忂州華茂外國語學校）