“直線與平面垂直”評優(yōu)課的課例分析與思考

華書春++許興震

[摘 要] 目前基層相當比例的數(shù)學課堂依然沿襲著傳統(tǒng)的“重結(jié)論、輕過程”的現(xiàn)象，筆者參與的“問題引領(lǐng)，自主建構(gòu)”數(shù)學教學模式以問題為載體貫穿整個教學過程，學生通過感受問題、探究問題、解決問題，實現(xiàn)意義建構(gòu)，提高思維品質(zhì).

[關(guān)鍵詞] 問題；情境；啟發(fā)；建構(gòu)；反思

筆者在無錫參加了江蘇省高中青年教師數(shù)學評優(yōu)課活動，此次活動由全省各市選拔的二十多名青年教師參賽，活動包含了聽課、優(yōu)秀課說課、評課及交流，筆者（以下稱A老師）以參賽的“直線與平面垂直”第一節(jié)課作素材，分析一些有益的經(jīng)驗，提出“問題引領(lǐng)，自主建構(gòu)”模式的一些教學建議供大家探討.

創(chuàng)設(shè)情境，推一扇大門

情境創(chuàng)設(shè)部分A老師提出了五個問題.

問題一：直線和平面有哪幾種位置關(guān)系？

問題二：研究了直線和平面平行哪些內(nèi)容？

問題三：直線和平面相交中最特殊的一種情況是什么？

教學過程：A老師以連續(xù)三個問題和學生互動，引導學生參與思考，然后讓學生動手操作，去感知發(fā)現(xiàn)線面垂直是相交的一種特殊情況，得出線面垂直的初步構(gòu)想，同時追問為什么命名為“垂直”？我們已經(jīng)掌握了哪些垂直關(guān)系？

點評：通過對已有知識追問，為未來定義的建構(gòu)埋下伏筆.

問題四：為什么先研究線面垂直？

點評：體現(xiàn)了研究新問題時常用的由特殊到一般、由簡單到復(fù)雜的思想.

問題五：為什么要研究線面垂直？

教學過程：讓學生舉出生活中的實例和幾何體中的實例.

點評：感受線面垂直的重要性.

總評：“問題引領(lǐng)，自主建構(gòu)”的教學模式中，創(chuàng)設(shè)情境通常可以有以下幾個途徑：（1）以數(shù)學故事和數(shù)學史實創(chuàng)設(shè)趣味型問題；（2）以數(shù)學知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程來創(chuàng)設(shè)知識性問題情境；（3）以數(shù)學知識的現(xiàn)實價值創(chuàng)設(shè)應(yīng)用型問題情境；（4）以“數(shù)學懸念”創(chuàng)設(shè)“懸念型”問題情境；（5）以數(shù)學活動和數(shù)學實驗創(chuàng)設(shè)活動型問題情境；（6）以計算機為工具創(chuàng)設(shè)動畫型問題情境.A老師以數(shù)學知識的產(chǎn)生、發(fā)展過程來創(chuàng)設(shè)知識性問題情境，并且重視了知識的最近發(fā)展區(qū)原則，注重了學生的思維，增加了課堂的思維容量，在授課過程中表現(xiàn)親和，不斷地對學生予以鼓勵和肯定，營造了安全、和諧的課堂氛圍，課堂如同蕩漾著自由之波的一方池塘；同時，A老師以問題串的形式復(fù)習線面關(guān)系，通過不斷追問、反問，層層遞進，引發(fā)了學生的認知沖突，給學生留有了探索空間，調(diào)動了大多數(shù)學生的思維，同時也勾勒出了本節(jié)課的研究線路.本節(jié)課的情境創(chuàng)設(shè)很好地體現(xiàn)了該模式的特點.

啟發(fā)引導，造一方池塘

問題六：你認為應(yīng)該研究直線和平面垂直的哪些內(nèi)容？

點評：培養(yǎng)了學生的模仿類比能力.

問題七：圓錐的軸與底面的任意一條線是什么關(guān)系？

教學過程：通過幾何畫板動態(tài)展示圓錐的定義，讓學生觀察思考，探究發(fā)現(xiàn).教師此處追問了三個小問題：（1）圓錐的底面是如何形成的？（2）圓錐的軸與底面是什么關(guān)系？為什么？（3）圓錐的軸與底面不過圓心O的直線m是什么關(guān)系？問什么？

點評：問題引領(lǐng)，逐層遞進，實踐與思考并重.

總評：A老師在啟發(fā)引導部分繼續(xù)通過二個主問題、三個支問題，讓學生展開積極的思維活動，很好地體現(xiàn)出了教師自己的啟發(fā)者、合作者、引導者和促進者的作用.“問題引領(lǐng)，自主建構(gòu)”模式要求教師要具備強烈的問題意識和較強的提出問題的能力，還要懂得多種措施的引入，以促進學生的思維活動的開展，A老師此處幾何畫板的動態(tài)展示起到了錦上添花的作用. 尤為值得稱道的是，A老師始終努力構(gòu)建著擁有創(chuàng)新之泉的一方池塘，給學生以主動，引導學生邊學邊思，想方設(shè)法讓學生經(jīng)歷問題的發(fā)展和生成過程，重視學生數(shù)學思維的培養(yǎng).

意義建構(gòu)，敲一塊燧石

問題八：你能給直線與平面垂直下定義嗎？

點評：由于前面七個問題的鋪墊，定義的生成就顯得水到渠成.此處培養(yǎng)了學生的概括能力.

定義生成：如果一條直線a和平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，則稱a和平面α互相垂直，記作a⊥α.

記為：任意l？奐αa⊥l？圯a⊥α.

圖1

教學過程：A老師在定義生成之后，讓所有學生在座位上思考并讓學生書寫了定義的符號語言，其中一位上黑板的學生在條件中多寫了l？埭α這一條件，A老師并沒有立即指出問題，而是提出問題并引導學生通過手中的紙和筆來推敲該條件的必要性，同時也肯定了該同學思考問題的嚴謹.

點評：此處培養(yǎng)了學生語言轉(zhuǎn)化能力.

詞語辨析：“任意”等價于“所有”嗎？等價于“無數(shù)”嗎？

反例辨析：圓錐的母線垂直于底面嗎？

點評：詞語辨析和反例辨析讓學生加深了對定義的理解.

例1：求證：如果兩條平行直線中的一條垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面.

教學過程：A老師讓學生在座位上完成，教師走動查看，適當點撥個別學生，最后通過實物展臺展示一位學生的證明過程.該學生的證明過程如下：

證明：

a⊥α任意m？奐α？圯a⊥ma平行于b？圯任意m？奐α任意m⊥b？圯b⊥α.

圖2

本段教學實錄：

師：說說你的思路！

生：先在平面內(nèi)作一條直線.

師：m是吧？寫了嗎？

生（慚愧）：哦！沒寫！

師：然后呢？

生：然后它是任意一條平面內(nèi)的直線，直線a⊥α，所以得到直線a垂直于平面內(nèi)的任意一條直線m. 然后a∥b，所以能得到b垂直于任意一條直線m，然后任意直線m屬于α，所以b⊥α. （此處，學生表述有誤，應(yīng)為包含于）

師：嗯！你覺得在解題過程中最大的體會是什么？不停地在用什么啊？

生：垂直！

師：嗯！垂直！也就是說不停地在用線線垂直和線面垂直的轉(zhuǎn)化. 好！你先請坐！

師總結(jié)：好，剛才第一個問題，是我發(fā)現(xiàn)的，作了一條直線m，但是沒有進行書寫.那么有沒有其他同學再來發(fā)表自己的看法. （停頓）這個書寫過程中，還有什么要完善的？誰發(fā)現(xiàn)的就站起來，主動一點，沒關(guān)系，不要低聲在下面說，來跟我們一起分享. 這位女生，你說說看.

生：我覺得應(yīng)該不用寫任意.

師：不用寫任意，為什么？

生：在隨意畫直線的時候，在畫直線的時候就已經(jīng)表示出來了.

師：哦！在這邊我們要強調(diào)一下. 只要在用條件時我們要保證它的充分性，一定要保證書寫的完整，這任意還是需要的. （強調(diào)）（停頓）好，我們來看這位同學的. 這就是剛才說不要寫任意的那位女生的，大家來觀察，她沒有寫任意，但和剛才的過程比較，她多了什么啊？

（實物展臺展示）？搖

已知：a∥b，a⊥α，證明：b⊥α.

（和第一位女生基本相同）

生（異口同聲）：已知，求證.

師：嗯！你們覺得有必要嗎？大家看，原來的題目當中，有沒有直線a、直線b和平面α，所以文字語言敘述的命題，為了證明時表述的方便，我們首先要用符號語言將它表示出來，并畫圖輔以證明，這樣才能夠表述準確.

師（總結(jié)，同時幻燈片展示）：好，通過這道題，我們一起來回顧一下. 在這道題當中，已知線面垂直，根據(jù)定義能得到（停頓，等學生回答）線線垂直. 那么要求證什么呢？線面垂直.可以由什么得到？（停頓，學生集體回答：線線垂直）這樣我們就用定義將這道題得到了圓滿的解決. 好，那么在實際應(yīng)用中，工人要想用定義驗證旗桿是不是和地面垂直，那他就得來驗證旗桿與底面所有直線垂直，這顯然很難操作. 那有沒有更簡潔的方法呢？（提出問題九，引出判定定理，并由實際操作的困難，讓學生認識到判定定理產(chǎn)生的必要性）

問題九：判定直線與平面垂直有沒有簡便的方法？

教學過程：此處，A老師設(shè)計了實驗過程，讓學生動手使用課本，實驗把書立在桌面上，看如何使得書脊所在的直線與桌面垂直，通過設(shè)置實驗過程，讓學生歸納總結(jié). 然后教師提出兩個問題：（1）這本書至少要有幾頁才能做到讓書脊與桌面垂直？（2）讓同學們拿出講義紙折疊，思考折痕滿足什么樣的條件時就可以使得折痕與桌面垂直？最后，A老師輔以了生活中的實例加以驗證，最終總結(jié)歸納出了直線和平面垂直的判定定理.

點評：讓所有學生參與活動，不同層面的學生均有所獲，體現(xiàn)了分層教學的思想.

判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面.

記為：a⊥ma⊥nm∩n=Am，n？奐αn？奐α？圯a⊥α.

圖3

總評：A老師調(diào)控課堂的能力比較強，整個課堂如同游弋著“快樂”之魚的“一方池塘”，通過實物展示，提問和追問，進一步暴露學生思維中的漏洞，對學生既有溫馨的提醒，又有恰到好處的肯定和總結(jié)，主導作用得到了很好的發(fā)揮. “問題引領(lǐng)，自主建構(gòu)”教學模式要求教師要成為學生建構(gòu)意義的幫助者，同時為了使得建構(gòu)更有效，教師應(yīng)在可能的條件下組織協(xié)作學習（開展討論交流），并對協(xié)作學習過程進行指導. 建構(gòu)過程中要有適當?shù)膯栴}提出，要和學生在互動中將問題進一步深化，以加深學生對所學內(nèi)容的理解.

操練拓展，點一束火焰

問題十：怎么檢驗旗桿和地面垂直呢？

點評：前后呼應(yīng)，解決問題.

例2：在長方體ABCD-A1B1C1D1中，求證：側(cè)棱BB1⊥平面ABCD.

點評：操練矯正.

教學過程：該處教師在處理時沒有做過多糾纏，主要是通過讓學生觀察思考，當堂回答，然后直接進入性質(zhì)定理的生成部分.性質(zhì)定理的生成部分又如同一個小循環(huán)，師生互動經(jīng)歷了“提出問題→分析和解決問題→意義建構(gòu)”.

A老師很有教學智慧，面對一位站起來回答問題的學生，提出：

問題十一：你和我都垂直于地面，那么把我們看成直線，會有什么關(guān)系？

點評：性質(zhì)定理的證明是本節(jié)課的難點，教師通過教學智慧引出問題，很精彩.

問題十二：已知：a⊥α， b⊥α，證明：a∥b.

教學過程：A老師讓學生當堂練習，展示了三個學生的錯誤的證法，進行分析，最終提出證法.

點評：證明過程中，學生都知道在平面內(nèi)找條線，但是在隨后的證明中，學生找不到正確的途徑推出線線平行，教師此時沒有急于求成，而是給學生時間思考錯誤原因，提出“兩條線在一個平面內(nèi)嗎”，“能不能讓它們在一個平面內(nèi)呢”，“不能實現(xiàn)在一個平面內(nèi)，我們還有什么途徑證明呢”，最終引導學生聯(lián)系到反證法.

性質(zhì)定理：如果兩條直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行. （圖形和符號語言略）

總評：此處內(nèi)容是本節(jié)課的難點，反證法的出現(xiàn)比較突兀，教師讓學生親身經(jīng)歷克服困難，循循善誘，突破了該難點，也做到了“授之以漁”，而不是“授之以魚”.

歸納反思，收一地金黃

問題十三：通過本節(jié)課的學習，你有哪些收獲？學了哪些知識？掌握了哪些方法？體會了哪些思想？

總評：“問題引領(lǐng)，自主建構(gòu)”的教學模式需要教師重視學生反思習慣的培養(yǎng)，讓學生用自己的語言談心得體會，既要有知識的總結(jié)，又要有思想方法的總結(jié)，多層面揭示問題本質(zhì)，充分貫徹落實三維教學目標，A老師做到了這一點.

后記

A老師在本節(jié)課實施上，由于充分尊重了學生的主動性，在意義建構(gòu)部分多花了點時間，造成有些“前松后緊”的現(xiàn)象，在歸納反思部分實施時沒有足夠的時間讓學生闡述充分，但瑕不掩瑜.

1. 一處點睛之筆

提出反證法之后，A老師向?qū)W生介紹反證法的流程，但并沒有按照反證法原封不動的講解，主要原因源于學生在假設(shè)a與b不平行以后，直接說他們相交或異面，教師沒有生拉硬拽地將學生拉回到課本上的思路，而是在黑板上直接畫圖，提出如果相交，面內(nèi)的那條線如何尋找；如果異面，又該怎樣處理異面直線的位置關(guān)系. 學生知道在直線上取點作平行線之后，又有了一些區(qū)別，有的學生說直接取b與平面的交點，有的說直接在b上取點，教師分別都予以了闡述. 這當中的課堂形式相對復(fù)雜，教師從學生的的思維中，努力尋找出學生思維的閃光點，予以肯定.

教育的價值在于幫助人以一切可能的方式成為實現(xiàn)他自己潛能的主人，筆者看到了教師的努力.

2. 一些教學建議

一堂好課需要教師始終關(guān)注學生的發(fā)展，遇到突發(fā)情況及時變通因勢引導，教學行為才會合理有效. “問題引領(lǐng)，自主建構(gòu)”模式最重要的特點是強調(diào)問題為過程的載體，強調(diào)突出學生的主體地位和教師的主導作用，強調(diào)了學生的自主構(gòu)建知識. 一節(jié)“問題引領(lǐng)，自主建構(gòu)”的課堂是要把獨立思考、反思質(zhì)疑、建構(gòu)內(nèi)化貫穿始終. 教師在課堂上最大的作用是搭建支架，引領(lǐng)學生發(fā)揮個人認知與群體交流的能動性，在師生、生生的互動、碰撞中，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，掌握規(guī)律. 課堂教學中筆者提出以下六點供大家探討：情境設(shè)計要立足學情；教學過程要以問題為主線；意義建構(gòu)要盡量自然生成；例題、堂練要層次化設(shè)計；問題解決要有化歸思路；教學方式要開放互動.