各種集合理論的哲學基礎及其區別

梁俊奇

(商丘師范學院 數學與統計學院，河南 商丘 476000)

各種集合理論的哲學基礎及其區別

梁俊奇

(商丘師范學院 數學與統計學院，河南 商丘 476000)

簡單介紹普通集合、模糊集合、可拓集合和粗糙集合等集合理論的哲學基礎，并指出其主要區別.

普通集合；模糊集合；可拓集合；粗糙集合；哲學基礎；反演集合

0 引 言

自1871年康托爾(Cantor)提出集合(set)理論以來，集合成為數學的基本概念，集合理論成為現代數學的基礎理論.但是，隨著社會與科學技術的發展，人們逐漸發現了許多康托爾集合不能描述的事物.為了描述這些事物，美國學者扎德(L.A.Zadeh)于1965年提出了模糊集合(Fuzzy set)理論[1]，從而使數學擺脫了康托爾集合理論思想的束縛，促使集合理論向多樣性方向發展.1982年以后，國內外學者又先后提出了可拓集合(Extension set)[2]、粗糙集合(Rough set)[3]-[4]、反演集合(Inversion set)理論[5]等.本文試圖從這些集合理論的哲學基礎入手，指出它們之間的主要區別，從哲學的角度把握數學基礎理論，以期認識各種集合理論的統一性.

1 普通集合的哲學基礎

1871年，康托爾提出了普通集合或清晰集合概念.在普通集合概念中，給定一集合A和任一元素x，要么x屬于A，要么x不屬于A，二者必居其一，絕不模棱兩可.因此，普通集合的哲學基礎是：形式邏輯的矛盾律和排中律，即：“A不能既是B又不是B”和“A是B或不是B”.所謂形式邏輯矛盾是指事物肯定性概念(是)和否定性概念(非)之間的矛盾.矛盾雙方“有我無你”，“勢不兩立”.它堅持一個公式：“是則是，否則否，除此之外，都是鬼話.”即普通集合描述的是客觀世界中“非此即彼”的現象.然而，由于在客觀世界中，并非所有現象都是非此即彼現象，因此，普通集合的描述不能囊括客觀世界中的所有現象.從而導致后來產生了各種各樣的廣義集合理論.

2 模糊集合的哲學基礎

在客觀世界中，確實存在著既不是百分之百是B，又不是百分之百不是B的現象，許多事情在“是”與“非”之間存在著一個中介過渡階段.一個典型例子是“禿子悖論”：有一根頭發算不算禿？有一根頭發不算禿不合常理，當然應該算禿.那么兩根呢？也應該算禿，有誰見過腦殼上僅有兩根頭發就欣喜若狂地宣稱自己不是禿子的人？現在改用數學歸納法，如果n根頭發算不算禿？n根頭發算禿，n+1根頭發不算禿不合常理，有誰辨別禿子是扒著人家腦袋數頭發，“多了一根！不算禿.”但是，如果n+1根頭發算禿，則一根一根的加上去，滿頭青發都是禿，人人都是禿子.此類例子很多.例如：年老與年輕；高個子與矮個子；美與丑；胖與瘦；有礦與無礦；多與少；大與小等等.這些例子都能說明：有些事情失去中介過渡階段，思維會引起混亂.故普通集合的哲學基礎——形式邏輯的矛盾律和排中律不能全面正確地反映客觀世界.由于普通集合的描述不能囊括客觀世界中的各種現象，客觀世界中確實存在有既不是百分之百是B，又不是百分之百不是B的中介過渡階段，從而啟示扎德于1965年提出了模糊集合(Fuzzyset)理論.從哲學角度講，扎德是放棄了形式邏輯的排中律，而保留了矛盾律，即在是“B”與不是“B”之間增加了一個模糊中介.也就是在前面“禿子悖論”中的“禿”與“不禿”之間增加了一個叫做“有些禿”的模糊中介(邊界).在模糊集合中，論域中任一元素，或百分之百屬于B，或百分之百不屬于B，或以百分數的形式歸屬于中介過渡(模糊)區域.換言之，模糊集合的哲學基礎是：形式邏輯矛盾律+模糊中介邊界(排中律的替代品).

3 可拓集合的哲學基礎

上述的普通集合涉及的是：“是”與“非”；模糊集合涉及的是“是”、“模糊中介邊界”、“非”.1983年，我國學者蔡文教授受工人將高度超過車間大門的機器搬運進車間里事件的啟示，以及受“羅素悖論”的影響，提出了可拓集合概念.蔡文教授注意到：機器由于高度超過車間大門的高度，因而不屬于可以搬進車間里的物體集合.但是，變換事物的特征，把小于入門高度的長換為高，這時的機器就變為屬于能搬進車間里物體的集合的元素.由此，蔡文教授建立了能夠描述事物可變性的可拓集合概念.在可拓集合中，一個元素要么是屬于B，要么是不屬于B，要么這個元素是原本不屬于B的但可以轉變成為屬于B(稱之為可拓域)，要么這個元素是既屬于B又是不屬于B的一個中間狀態(稱之為是對應“中間”事物的臨界).文[2]提出了可拓集合及其可拓域、穩定域、零界等概念，用它們來描述“是”與“非”的相互轉化，從而能定量地表述事物的質變和量變的過程，而零界概念則描述了事物“既是又非”的質變點.這些為矛盾問題的解決提供了合適的數學工具.不難看出，可拓集合與普通集合相比，有兩點變化，一是在“非”區域內劃出一個可以在一定條件下轉化為“是”區域的子區域，即是在不屬于B的范圍內增加了一個可以轉化為屬于B的子區域；二是在形式邏輯矛盾的“是”與“非”之間增加了一個可以亦此亦彼的“臨界”區域.因而可拓集合涉及的是：“是”、“臨界”、“可拓域”、“非”.所以我們說可拓集合的哲學基礎是：形式邏輯矛盾律+臨界+可拓域(排中律的替代品).如果說在模糊集合中，扎德是根據“禿子悖論”給出了模糊中介；那么在可拓集合中,或許我們可以說蔡文是根據“羅素悖論”給出了“臨界”區域.蔡文也自豪地認為在可拓集合中可避免“羅素悖論”，就像在模糊集合中可以避免“禿子悖論”一樣.但需要注意的是扎德的模糊中介并未否定矛盾律而是僅僅放棄了排中律；而蔡文的“臨界”區域則是既否定矛盾律又放棄排中律.可拓集合實際上是將討論域分成三段：一段上嚴格遵照形式邏輯矛盾命題(普通集合)，一段上的形式邏輯矛盾可以轉化為非矛盾(可拓域)，一段上允許有包含形式邏輯矛盾的事物存在(“臨界”區域).

例如，用一桿只能稱兩百斤的秤，要稱幾千斤重的大象，怎么辦？曹沖用船把大象換成等重的石頭，用秤稱石頭而解決了這個問題.但曹沖的辦法是不是最佳呢？其實也可以用等重的水、等重的沙、等重的一隊人來代替大象，這就是拓展的方法.此外，有人也會想到用木排、竹排代替船，這又是另一種變換.也還可以用蹺蹺板、大樹杈和杠杠等.總之，方案有很多個，必須進行評價，找可行、成本少、耗時小的創意去實施.那么，用什么辦法和程序可以找到這些變換呢？這是可拓學研究的核心.可拓學就是研究事物拓展的可能性和開拓創新的規律與方法，并用變換來解決矛盾問題的科學，它是一門橫跨哲學、數學與工程學的交叉學科.

4 粗糙集合的哲學基礎

有一種觀點認為：知識源于人類對物種的分類能力.例如：在某種環境下，機器人表現的像是有知識、有“智慧”，實質上是它們將外部環境和內部狀態的傳感信號分類，得出可能的情況并由此支配行動，知識直接與真實或抽象世界有關的不同分類模式聯系在一起.因此，任何一個物種都是由一些知識來描述的，根據這些知識可以把物種分類，利用物種不同的屬性知識描述 ,對物種可以產生不同的分類.基于這種觀點，波蘭學者Z.Pawlak教授等提出了粗集理論.其概念表述如下：設X是論域U的一個子集，R為其上的一個分類關系，如果X能用R分類，即它可用某些R基本集的并來表示，則X是R可定義的精確集，如果不能，則稱X是R粗糙集.所以我們說粗集的哲學基礎是:形式邏輯矛盾律+粒邊界中介(排中律的替代品).在知識的表達與獲取方面，雖然粗集理論和模糊集合理論都是研究信息系統中知識不完善、不準確問題，但它們各自的著眼點不同，粗集理論解決問題的出發點是信息系統中知識的不可分辨性，而模糊集合理論解決問題的出發點是信息系統中知識的模糊性，兩者不僅在概念上不能相互替代，在處理方法上也各有特色.粗集具有很強的定性分析能力，它不需要預先給定某些特征或屬性的數量描述，如模糊集合理論中的隸屬度或隸屬函數等，而是直接從給定問題的描述數據出發，通過不可分辨關系和不可分辨類確定給定問題的近似域，從而找出該問題的內在規律.

5 反演集合的哲學基礎

在哲學中，矛盾分兩類：一類是形式邏輯矛盾，另一類是辯證邏輯矛盾.數學中的普通集合和模糊集合等概念是以形式邏輯矛盾為哲學基礎的，而反演集合概念則是以辯證邏輯矛盾為哲學基礎的.

在形式邏輯中，矛盾概念是指事物肯定性概念(是)和否定性概念(非)之間的矛盾.如：正數與非正數；正電子與非正電子等之間的矛盾.在任意指定的論域中，普通集合涉及的是“是”與“非”，論域中任一元素，或屬于該集合，或不屬于該集合；模糊集合涉及的是“是”與“非”和“是”與“非”之間中介過渡的模糊區域.論域中任一元素，或百分之百屬于該集合，或百分之百不屬于該集合，或以百分數的形式歸屬于中介過渡模糊區域 .

在辯證邏輯中，矛盾概念是指一個事物內部對立的兩個側面,如正、反兩面之間的矛盾.如：正數與負數；正電子與負電子等之間的矛盾.以辯證矛盾為哲學基礎，我們可以給出一種有別于普通集合和模糊集合、可拓集合、粗糙集合等的新集合——反演集合，其定義如下：

[1]胡寶清.模糊理論基礎(第二版)[M].武漢：武漢大學出版社，2010.

[2]蔡文.可拓集合和不相容問題[J]．科學探索學報，1983(1)：83-97.

[3]PawlakZ.Roughsets[J].InternationalJournalofComputerandInformationScience, 1982 (11)：341-356.

[4]王國胤，YaoYY，于洪.粗糙集理論與應用研究綜述[J].計算機學報，2009(7)：1229-1246.

[5]劉建忠.反演集合理論及其應用[M],昆明：云南科技出版社，1999.

[6]李道國,苗奪謙,等.粒度計算研究綜述[J].計算機科學，2005，32(9)：1-12 .

[7]王健吾.數學思想方法引論[M].合肥：安徽教育出版社，1996.

[責任編輯：王 軍]

The philosophical basis and difference of variety of set theory

LIANG Junqi

(School of Mathematics and Statistics,Shangqiu Normal University,Shangqiu 476000,China)

a brief introduction to the general collection of fuzzy sets, extension set and rough set the philosophical basis of set theory, and pointed out that the main difference.

cantor set; fuzzy set; extension set; rough set; philosophical basis; inversion set

2016-04-13

河南省基礎與前沿科學技術研究基金資助項目(122300410222);河南省教育廳科學技術研究重點基金資助項目((2011A120007，2012B120011，2014A120008)

梁俊奇(1958—)，男，河南寧陵人，商丘師范學院教授，碩士生導師，主要從事智能計算與不確定信息處理的研究.

TP18

A

1672-3600(2017)06-0013-03