隨機利率下相關性數字期權的定價

康文娟, 李翠香

(河北師范大學 數學與信息科學學院，河北 石家莊 050024)

隨機利率下相關性數字期權的定價

康文娟, 李翠香

(河北師范大學 數學與信息科學學院，河北 石家莊 050024)

利率隨時間不斷變化, 若假設利率服從Vasicek模型, 將更加貼近金融市場的實際情況.本文假設標的資產服從幾何布朗運動, 利率服從Vasicek模型, 用多維Girsanov定理和測度變換推導出相關性數字期權的定價公式.

相關性數字期權; 測度變換; Girsanov定理

0 引 言

(1)

(2)

其中S1稱為標的資產,S2稱為測量資產,K為期權的執行價格,G為測量標的資產的缺口水平, 1A表示集合A的示性函數.由(1)(2)可以看出, 當S1=S2時, 即當S1與S2為同一資產時, 相關性數字期權即為缺口期權.

文獻[2]給出了利率和紅利均為常數的相關性數字期權的定價公式.由于在現實市場中, 利率是不斷變化的, 所以許多學者擴展了B-S模型, 例如:2008年, 李淑錦[4]考慮了隨機利率下歐式看漲期權和復合期權的定價.2012年, 張艷、周圣武[5]給出了隨機利率下歐式缺口期權的定價公式.本文將研究利率服從Vasicek模型的相關性數字期權定價公式.

以下假設市場是均衡的, 完備的, 且無套利存在, 資產價格S1,S2滿足隨機微分方程(簡稱SDE):

dSi(t)=[r(t)-qi(t)]Si(t)dt+σi(t)Si(t)dBi(t),(i=1,2),

(3)

無風險利率r(t)服從擴展的Vasicek模型:

dr(t)=[a(t)-b(t)r(t)]dt+σ3(t)dB3(t),

(4)

1 預備知識

引理 1 設Si(t)滿足SDE(3), 則對任意的t

(5)

證明 由Ito公式得

對上式兩邊從t到T積分, 并整理得

引理1得證.

引理2[4]設無風險利率r(t)滿足SDE(4), 則T時刻價值為{$1}的零息債券在t時刻的價格為

(6)

且

(7)

引理3 設Si(t)滿足SDE(3), 則對任意的t

(8)

證明 將(7)代入(5), 可得引理3.

引理4[3]設有界未定權益Y關于FT可測, 則在任意時刻t∈[0,T], 該未定權益的價值為

引理6[3]設W1(t),W2(t)為測度P下的獨立的布朗運動, 若H1(t),H2(t)為平方可積的Ft可料過程, 則

是相互獨立的布朗運動.

2 歐式相關性數字期權的定價

定理1 假設Si(t)和利率r(t)分別服從SDE(3)和(4), 則以S1(t)為標的資產,S2(t)為測量資產,K為執行價格,G為缺口水平, 到期日為T的歐式相關性數字看漲期權在到期前任意時刻t的價值為

其中N2(·,·;·)為二維正態分布累積函數,

證明 由引理4及(1)式知

C(S1(t),S2(t),t)=EP[e-∫Ttr(s)dsS1(T)1{S1(T)>G,S2(T)>K}]-

GEP[e-∫Ttr(s)ds1{S1(T)>G,S2(T)>K}]=:I1+I2.

(9)

首先計算I1.因為 (Bi(t),Bj(t))的相關系數為ρij(i,j=1,2,3且i≠j), 故在測度P下存在布朗運動B31(t),B32(t)使得B3(t),B31(t),B32(t)相互獨立, 且

(10)

其中

由(5)及(10)知

I1=S1(t)e-∫Ttq1(s)dsEQ1[1{S1(T)>G,S2(T)>K}]=S1(t)e-∫Ttq1(s)dsQ1(S1(T)>G,S2(T)>K),

(11)

且

(12)

是測度Q1下三個相互獨立的布朗運動.

把(10)(12)代入(8)得

(13)

(14)

由(11)得

(15)

其次計算I2.在測度P下存在布朗運動B11(t),B12(t)使得B1(t),B11(t),B12(t)相互獨立, 且

(16)

其中

由(7)及(16)知

類似I1的證明可得

(17)

由(15)(17)知定理得證.

定理2 在定理1的條件下, 歐式相關性數字看跌期權在到期前任意時刻t的價值為

其中d1和d2同定理1.

證明 由引理4及(2)式知

P(S1(t),S2(t),t)=GEP[e-∫Ttr(s)ds1{S1(T)

類似于定理1中I1,I2的證明, 可得結論.

[1]JohnC.Hull.Optionfuturesandotherderivatives[M].北京:機械工業出版社, 2011.

[2]PeterG.Zhang.Exoticoptions[M].北京:機械工業出版社, 2014.

[3]FimaC.Klebaner.Introductiontostochasticcalculuswithapplications[M].北京:人民郵電出版社, 2008.

[4]李淑錦.隨機利率下奇異期權的定價公式[J].數學學報, 2008,51(2):299-310.

[5]張艷,周圣武,韓苗,等.隨機利率Vasicek模型下的歐式缺口期權的定價研究[J].大學數學,2012, 28(4):98-101.

[6]HullJC.Options,FuturesandOtherDerivatives(SeventhEdition)[M].北京:清華大學出版社, 2011.

[責任編輯：王 軍]

Pricing of correlation digital options under the stochastic interest rate

KANG Wenjuan, LI Cuixiang

(College of Mathematics and Information Science of Hebei Normal University, Shijiazhuang 050024，China)

Interest rate is changing with time, In order to make the asset prices model closer to reality of financial market, we will assume that the interest rate follows Vasicek model.In this paper, assuming that underlying asset price follows geometric Brownian motion, the interest rate follows Vasicek model, we get the pricing formulas of Correlation digital option by the help of multi-dimension Girsanov theorem and the change of measure.

correlation digital option; measure transform;Girsanov’s theorem

2016-06-01

國家自然科學基金資助項目(11571089)

康文娟(1991—), 女, 河北趙縣人, 河北師范大學碩士研究生, 主要從事金融數學的研究.

O211.6

A

1672-3600(2017)06-0001-04