幫助學生探明算理的五種方法

徐宏臻

算理是算法的依據，它指導著算法；算法是算理的體現，它外顯著算理。在計算教學的起始階段，必須切實重視算理的教學，做到“理”為先、“理”為要、“理”充分。教師應根據教學內容的特點、教學對象的差異等，采取多種方法幫助學生探明算理，并逐步掌握探理方法，發展自主探究能力。幫助學生探明算理的方法有很多，現結合一些教學實例，簡介五種，供大家教學時參考和運用。

一、 操作法

新課標重視學生對所學知識的理解，重視實踐能力的培養。操作是學生探明算理的重要途徑，在運用時，我們要讓學生的操作充分、聚焦且提升，逐步從具體操作向形象操作和符號操作過渡。教師須要明確，數學是思維的科學，操作不是最終目的，發展思維才是根本。所以，我們既要切實重視操作，又要逐步擺脫操作，并適時超越操作，以逐步提高學生的抽象思維水平。

在教學蘇教版（以下均為蘇教版）《數學》三年級上冊“兩、三位數除以一位數的筆算除法”例3時，筆者讓學生依據已有的知識和經驗，先自主探究算理，再根據需要有目的、有次序地展示和交流學生探究出的多種算法，以使學生的思維拾級而上，逐步提升。先展示在主題圖上的圈一圈、分一分：學生把4筒羽毛球和6個羽毛球分別平均分成2份，發現每份都是2筒和3個，合起來每份是23。再展示用小棒代替羽毛球的擺一擺、分一分，學生先把4捆小棒平均分成兩份，每份是2捆，再把6根平均分成兩份，每份是3根，合起來每份是23。接著展示在計數器上的畫一畫、分一分：先把十位上4個珠子平均分成兩份，每份是2個珠子，再把個位上6個珠子平均分成兩份，每份是3個珠子，合起來每份是23。最后，引導學生聚焦這三種操作的共同點：先把4個十平均分成兩份，再把6個一平均分成兩份，最后把兩次分得的結果合并，即先算40÷2=20，再算6÷2=3，最后算20+3=23。

僅從一例就引導學生概括算法，筆者認為還不夠充分。為此，筆者又讓學生看著除法算式（如48÷4，246÷2等），先估一估商，再想像分小棒的過程和步驟，想像在計數器上均分珠子的情況，最后分別用課件進行演示，以驗證想像。如讓學生看著246÷2，估計商大約是一百多，并在腦中想像分小棒的情況，即先把兩大捆（2個百）平均分成兩份，每份得一大捆（1個百），再把4小捆（4個十）平均分成兩份，每份得2小捆（2個十），最后把6根（6個一）平均分成兩份，每份得3根（3個一），合起來每份是123。接著，想像并口述在計算器上均分珠子的情況。這樣，學生從中明顯感到：48÷4，246÷2等都可以先從高位分起，再依次往下分。

在充分操作的基礎上引導學生再次聚焦和討論：兩位數除以一位數都是先分什么，再分什么？三位數除以一位數是先分什么，再分什么，最后分什么？在此基礎上，讓學生嘗試看著除法算式直接口算出商。這樣就為學生積累了較多的先從高位除起，再依次往下除的感性認識，為逐步抽象算法和列豎式奠定了充足且堅實的基礎，便于學生從動手操作逐步過渡到形象操作和符號操作上來，發展抽象思維能力。尤其是在計數器上均分珠子，更有利于學生借助操作的過程解釋算理，理解除法豎式的意義，可以說是形象操作到符號操作之間的一座極好的橋梁。

二、畫圖法

新課標重視學生幾何直觀能力的培養，指出：借助幾何直觀可以把復雜的數學問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預測結果。幾何直觀可以幫助學生直觀地理解數學，在整個數學學習過程中都發揮著重要作用。實踐證明，畫圖法在各年級計算教學中都有著獨特和神奇的作用，它可以幫助學生理解數的意義和組成，外化算式的含義和算理，使算理形象化、可視化。對于一些難以說明的算理，借助畫圖法可以化晦澀難懂為通俗易懂。

教學《數學》四年級上冊“商不變的規律”，在讓學生自己找一些例子，算一算、比一比，看商有沒有變化時，總會遇到這樣的尷尬：一些學生舉出除數是三位數或四位數，如根據100÷20，舉出800÷160等，或者舉出被除數不能被除數除盡的例子，如根據100÷20，舉出（100÷6）÷（20÷6）等。學生或說，不會除，沒法驗證；或說，除不盡，沒法驗證。此時，教師常常不知所措，難以跟學生說清道理。盡管說了“商不變的規律永遠是成立的，但以你們現在所學的知識還不能解決這樣的問題，等到了六年級就會計算了”，但學生半信半疑。怎么辦？借助畫圖可以講明其中的道理。

設一個長方形的面積是100平方厘米，長是20厘米，寬是多少厘米？列式是100÷20=5（厘米）。如果用兩個這樣的長方形沿著長拼在一起，成為一個大長方形，從中明顯看出長方形的面積乘2，長也跟著乘2，但寬保持不變，即（100×2）÷（20×2）=5（厘米）。同樣，用這樣的3個、4個……長方形分別沿著長拼在一起，成為一個個大長方形：從中明顯看出，長方形的面積分別乘3、4……長也跟著乘3、4……但寬始終保持不變。由此可以推想到：如果長方形的面積和長同時乘一個相同的數（0除外），寬保持不變。順勢推導到：被除數和除數同時乘一個相同的數（0除外），商不變。從而巧妙地化解了除數是三位數或四位數的情況。反過來，如果把原來的長方形對折一次，面積是原來的一半，長也是原來的一半，但寬保持不變。同樣，如果把原來的長方形分別連續對折2次、3次……長方形面積分別被除以4、8……長也跟著被除以4、8……但始終寬保持不變。學生容易推想到：如果長方形的面積和長同時除以一個相同的數（0除外），寬始終保持不變。再把上述拼接得到的算式分別與100÷20=5一一作比較，學生容易得到：被除數和除數同時除以一個相同的數（0除外），商不變。

面對（100÷6）÷（20÷6），可以讓學生想像，并推理得到：當把大長方形的面積平均分成6份時，大長方形的長也被平均分成6份，但寬保持不變，即（100÷6）÷（20÷6）=5（厘米）。當然，對于其他除法算式也可以引導學生借圖類推。這樣，數與形結合、想像與推理結合，就巧妙地避開了繁難的計算，有效地化解了教學尷尬，便于學生發現、理解和掌握規律。

三、情境法

新課標要求課程內容的選擇要貼近學生的實際，有利于學生體驗與理解、思考與探索，要求重視學生的直接經驗，處理好直接經驗與間接經驗的關系，從學生已有的經驗出發建構新知。學生的生活經驗是極其寶貴的教學資源，許多生活事理為學生理解數學知識、數學規律等提供了現實的原型支撐。對于一些較難理解且易混淆的算理，我們還可以賦予算式現實意義，通過創設學生熟悉的情境，幫助學生借助生活事理理解數學算理，并逐步實現對情境的超越。

在教學《數學》四年級下冊“運算律”時，一些學生對如何簡便計算168+98，168-98，168-102等算式，經常混淆不清，錯誤百出。盡管有些教師跟學生反復講減號后面如果有括號，去括號后括號里面的數如何變號等，但學生仍然很茫然，即使暫時記住了，但很快又會遺忘。這時，我們可以用學生熟悉的付錢和找錢的事理來幫其理解其中的算理。如對于168+98，可以這樣編故事：小英身上原有168元，媽媽又給她98元。現在她一共有多少元？老師問：當媽媽給她100元時，小英會怎樣做？學生說：小英會找給媽媽2元，因為媽媽多給了2元。于是得到：168+98=168+（100-2）=168+100-2。在此基礎上，再借助多個類似的實例，引導學生逐步理解和掌握a+（b-c）=a+b-c。對于168-98，可以這樣編故事：小英身上原有168元，給媽媽98元后，還剩多少元？老師問：當小英付給媽媽100元時，媽媽會怎樣做？學生說：媽媽會找給小英2元，因為小英多給了2元。于是得到：168-98=168-（100-2）=168-100+2。在此基礎上，再借助多個類似的實例，引導學生逐步理解和掌握a-（b-c）=a-b+c。對于168-102，可以這樣編故事：小英身上原有168元，給媽媽102元后，現在還剩多少元？老師問：小英一般會怎樣付錢？學生說：一般會先給100元，再給2元。于是得到：168-102=168-（100+2）=168-100-2。在此基礎上，再借助多個類似的實例，引導學生逐步理解和掌握a-（b+c）=a-b-c。

這樣，借助學生熟悉的、易懂的生活事理幫其領悟其中深奧的、難懂的算理，學生就易于理解和掌握，不易混淆。在算法迷糊時，他們就會自覺地嘗試編情境故事，賦予算式以現實意義，從而借助生活情境探明算理，生成算法。

四、遷移法

新課標指出：數學知識的教學，要注意知識的“生長點”與“延伸點”，把每堂課教學的知識置于整體知識體系中，注重知識的結構和體系，處理好局部知識與整體知識的聯系，引導學生感受數學的整體性。遷移法就是利用學生原有知識和經驗中可以類比的成分，加以遷移運用，構成一個一以貫之的算理體系，從而幫助學生探明和理解算理，掌握算法。運用的關鍵是找到前后算理的相關性。

這樣，就把相關的算理有機地串聯起來，形成一個有意義的算理體系，便于學生遷移和運用。學生從中能更深刻地體悟到數學思想方法的一致性：只有在計數（或計量）單位相同時，才可以把計數（計量）單位的個數直接相加、減，如果不同，就要設法先把計數（計量）單位轉化成相同的，然后再加、減。

五、演繹法

根據小學生的年齡特點和認知水平，教材在編寫時，往往會引導學生根據幾個具體的、典型的例子，進行算理歸納和算法抽象，采用的是合情推理中的不完全歸納法，但不完全歸納法得出的結論具有或然性。隨著學生知識的增多和年級的升高，筆者認為，我們應該在側重合情推理的同時，適時、適度地引進演繹推理，并把兩者有機地結合起來，使學生經歷完整的探理過程，從而明確算理，學會探究。尤其是對那些難以通過操作、畫圖和情境等探明算理的，更應如此。

當然，上述五法并不是相互獨立的，而是密切聯系的，它們都體現了轉化、推理、建模等數學思想，都是把未知轉化為已知，根據已知求得未知的。可以說，操作法、畫圖法以及情境法是轉化和推理的形象模型，遷移法以及演繹法是推理和轉化的直接運用。教學中，我們要引導學生運用多種方法探明算理，并感悟其中的數學思想方法，把學生的思維水平逐步從動作思維引向形象思維和抽象思維，以提升其數學思維水平，增強其自主解決數學問題的本領。

[責任編輯：陳國慶]