初中數學解題中應用數形結合思維

龔梅

【摘要】在初中數學教材中，無論概念還是定理，處處蘊含著數形結合思維，自然，應用的數學習題也不能例外，在解題時，需要把數量關系同形的直觀性結合起來，既能夠以形解數、簡化思維，也可以以數算形，回歸數學本質。

【關鍵詞】數形結合 初中數學 以形解數 以數算形

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）21-0184-02

新課程改革后，數學教材一改過去的代數與幾何分離教學，將二者合二為一，互相穿插。這是因為，教材的編寫者意識到數與形的不可分割，代數需要經過圖形變得直觀和簡易，幾何需要經過代數關系與運算實現證明與解答，二者密切結合的最高點便是向量及其運算，當然，這不在我們的討論范圍之內，我們只是討論數與形結合思維已經被認可并推廣于教材之中。遍覽教材，諸多的概念和定理中處處都蘊含著數形結合思維，比如絕對值、函數、勾股定理、全等三角形的判定等等，相應而言，習題自然也會把數形結合思維蘊含地淋漓盡致。因此，在解題時運用數形結合思維，可以緊扣出題人的思路，是一條便捷之徑。

一、以形解數，簡化思維

在初中數學習題中，一些數量關系極具復雜之能事，學生一時半會兒很難對其進行準確認知，于是在做題時常常摸索不到思路或者是出現漏洞，此時，就需要借助圖形進行解答，圖形不經可以將題目中復雜的數量關系直觀地綜合地呈現在學生眼前，令學生實現對數量關系的把握，而且有時可以出現靈光一閃之效，令學生發現解題的線索，從而出奇制勝。下面通過兩個例子，體會一下數形結合思維的精妙。

例1：如果a

分析：這道題看似不難，只是簡單地對數與相反數進行大小比較，沒有涉及絕對值，更缺少運算量。但這道題蘊含的邏輯思維可不少，以至于學生頻繁出錯，不是六個數之間顛來倒去一團亂，a、-a、b、-b、c、-c錯雜不堪入目，當然，根源在邏輯運算不清，就是少了可能性，只解答出一個答案就萬事大吉，導致失了分。如果借助數軸來解題，則可以避免那復雜的頭腦風暴，輕而易舉地理順數之間的關系，而且也能夠發現隱含的分類思維：b距遠點的距離比c近，b距原點的距離在a和c之間，b距原點的距離比a遠，由此得出六個數的三種大小關系。

解答：當b距原點的距離

當c距原點的距離

當a距原點的距離

例2：x、y的關系滿足方程（x-2）2+y2=3，試著求y/x的最大值。

分析：很多學生在做這道題時，試著將y/x變成二次，然后開方求值，先不說計算，然后求出最值依然是個難題，就準確性而言，也是有偏差的。其實，可以用圖形來幫助解題，求得準確答案。仔細分析一個方程式，便可以發現這個方程其實是一個圓的表達式，根據圓的標準方程（x-a）2+（y-b）2=r2，該圓的圓心為（2，0），半徑為，因此，（x，y）便是圓上的一點，這是第一次利用圖形來助解。接下來便是思考如何使得y/x最大了，這里可以第二次利用圖形來解決困境，將y/x視作過（0，0）與（x，y）兩點的直線的斜率。到這里為止，求（x，y）的最大值便轉化為求過圓上的任意一點與原點的直線的斜率最大值。當圓與直線相切時，且切點在第一象限時，直線的斜率是最大的（如圖4）。此時需要第三次利用圖形來助解，OA的斜率是Rt△OAC的正切值，已知OC=2，AC=，可以求出OA=1，于是y/x的最大值便呼之欲出。此題的難點便是三次借助圖形，以形來解數。

解答：當OA與⊙C相切時，y/x有最大值

OC=2，AC=，OA==1

（y/x）max=tan∠AOC=/1=

二、以數算形，回歸本質

數學之所以稱之為數學，本質是數，是運算，所以，無論代數還是集合，都無可避免地牽涉到數的運算。而且，形固然直觀，可以具體化一些抽象思維，卻無法精確定量，并且蘊含在一些簡單圖形中的復雜數量關系，是不能只靠觀測就得出結果的，必須依靠數，這就需要根據題意與圖形，正確地羅列出數的關系，然后通過思維與計算，解決數學問題。以下運用一個例子，分析數于形上的彌補，思維于直覺中的功能。

例3：如果圖5中所有的三角形均是直角三角形，AE=1，∠A=，試求AB的值。

分析：在圖中，除了所有的三角形均為直角三角形外，沒有任何數量關系的顯示，但是此題求的就是數量關系，所以，只能根據題意進行思維和運算。想要求AB的值，在已知∠A的條件下，必須知道BC或AC的值，如果是BC的值，BC除了在Rt△ABC中外，就是在Rt△BCD中，而Rt△BCD中的各個角與∠A的關聯性不大，也無法求出與Rt△ADE或Rt△ACD或Rt△ABC存在全等或相似的關系，那么，只能是求AC的值。到此為此，在Rt△ACD，AC似乎與∠A與AE都牽上了關系，但是出現了一個問題，AE與AC沒有比例的關系存在，便只能繼續尋覓，以期求得AD或CD的值，CD雖然處在較多的直角三角形中，但是與∠A與AE的關聯不大，那么只有求AD的值。根據題意，在Rt△ADE中，。順勢，我們便可以求得，。在解答過程中，運用了逆向推導的思維，這是初中數學習題中常常用到的一種思維方式。此外，此圖畫的較為簡單，有些似是而非的關系蘊含其中，比如AE=CE，△ADE=△CDE等，但這不是已知條件，學生們切忌就此而得結論。

解答：在Rt△ADE中，；在Rt△ACD中，；在Rt△ABC中，

數與形既是初中數學研究的兩個主要對象，即我們通常所言的代數與幾何，也是互相滲透的彼此解題途徑，數需要形來簡易化，形需要數來運算，二者不可分割。我國著名數學家華羅庚曾經提到：數與形是統一的整體，數離了形變少了直觀性，形缺少數便無法解答。一切的數學問題與數學發現，皆需要在數與形的有效結合下進行。因此，在教學數學時，教師需要把數與形結合起來，無論是概念與定理，還是解題，只有形成了習慣性，才能把數形結合的思維方式植根在學生的頭腦中。

參考文獻：

[1]李莉. 初中數學數形結合思想的探究[J]. 教育教學論壇，2014，25.

[2]徐國央. 數形結合思想在數學解題中的應用[J]. 寧波教育學院學報，2009，1.