化歸思想在高中數學解題中的應用分析

莫京宇

摘要：數學對于高中課程當中尤為重要，學習數學的關鍵在于對數學知識的掌握和擁有良好且正確的解題思想。在數學解題應用中，如等價交換思想、數形結合思想、函數思想等這些良好的解題思想我們都可以稱之為化歸思想。本文就化歸思想在高中數學解題中的實際應用作出簡要分析。

關鍵詞：化歸思想；高中數學；應用

前言：化歸思想，一種化熟悉為陌生，化未知為己知的思想。這種思想在生活中被我們習慣性地應用著，一個人的成長離不開化歸思想，它是我們思考一切問題的基本習慣。同樣，在高中數學領域也離不開化歸思想，關于它在高中數學解題中的應用，我認為可以分為五個方面進行，即在不等式中的應用，在數列中的應用，在函數中的應用和在幾何中的應用。

一、化不等式為等式

化歸思想在不等式當中的應用表現最為明顯的是化不等式為等式。因為等號兩端的數值相同，根據這一點我們可以進行具體的運算，進而得出答案。舉個例子：題目為若不等式kx-4=2的解集是x1≤x≤3，則實數k是多少。

通過觀察題目可以解析出kx-4=2的兩個根為1，3 即k-4=23k-4=2 ，可以解得k=2。在這個問題中，我們利用化歸思想將端點之進行帶入，在等號成立的情況下將題解開。在所有高中數學的不等式的問題之中，只要我們能夠找到不等式之間的關系，將不等式轉化為等式，問題就都能夠被解開[1]。

二、轉化為等差數列或等比數列

數列是高中數學學習當中的重點，同時也是高考數學的必考內容。同樣，化歸思想在高中數學數列題型當中也有很好的應用，主要是根據題目內容將其轉化為等差數列或等比數列，然后利用所學習的公式求得答案[2]。

1.在等差數列當中的應用

在高中數學的等差數列習題當中，經常出現的像an-an-1=fn這種等差數列的遞推公式，我們通常可以利用疊加方法來進行解題。舉個例子。題目為已知an-an-1=n-1，求an。根據題目可知，an-an-1=n-1，所以我們可以推斷出a2-a1=1，a3-a2=2，a4-a3=3……所以我們利用疊加法將各項相加，可以得到an-an-1=1+2+3+4+...+n-1，進而可以推算出結果，即an=n2-n+22。

疊加法進行解題時我們可以用它的兩個特點進行觀察，第一個特點是等式的右方求和要更快捷，第二個特點是等式的左方可以錯項互相消掉，從而變成簡單的公式。這種方法的應用也正是化歸思想的數學解題中應用中常見的證明。

2.在等比數列當中的應用

在等比數列當中我們也會使用到化歸思想，由于化歸思想而采用的方法在等比數列當中有累乘法、迭乘法等等。對于題目上有像anan-1=fn這樣的公式，我們能夠通過后者進行求解。比如這樣的一道題：已知數列a1=1，anan-1=nn+1求數列an的通項公式。通過觀察，我們可以推導出a2a1=23，a3a2=34……一直到anan-1=nn+1，將上面的所有等式相乘可以算出ana1=2n+1，進而我可以得出an=2n+1。在這道題中，我們通過利用化歸思想的迭乘法算出了anan-1=fn類型的等比數列通項公式，當然它也具有一定的要求，即：通過跌乘之后得出的f1f2……fn公式可以進行化簡。

三、數形轉化與動靜轉化

函數一直都是高中數學學習的重點，其中涵蓋了一次函數、二次函數、反比例函數等一共七個基本的初等函數，同樣，這也是高考必須涉及的范圍[3]。化歸思想在解函數題型當中的運用主要為數形之間的轉化和動靜之間的轉化。

1.數形之間的轉化

在一部分函數題中，數字和圖形總是互相結合的，我們通過數字和圖形之間的轉化能夠讓函數題變得更加簡單，從而解出答案。比如有這么一道題：函數y=11-x的圖像和函數y=2sinπx，-2≤x≤4的圖像的所有焦點的橫坐標之和為多少。這是一道選擇題，有四個選項，分別為2，6，8，10。這道題需要我們進行函數和圖像的結合去進行解題。我們需要作出函數y=11-x與函數y=2sinπx，-2≤x≤4的圖像，如圖1所示。

通過對圖像的觀察，我們可以知道那兩個函數圖像都是關于（1，0）這個點對稱的，所以相交的點也就是關于這個點對稱的。而再看圖像，我們還可以觀察到這圖像當中，在y=11-x，y=2sinπx，-2≤x≤4函數圖像在區間（-2，4）里面存在了8個相交的點。所以根據公式，我們可以算出橫坐標是答案C，有8個。這道題就是利用了數字和圖形之間的轉換，將一個乍看很復雜的題變得簡單了。

2.動靜之間的轉化

動靜之間的轉化指的是我們在解函數題時，利用變化與運動的思路去分析題目，去將題目中有用的信息利用函數的形式進行表現，去將靜止的數字變成變量，實現動靜之間的相互轉化，進而解決問題，這在高中函數題中同樣常見，比如這樣的一道題：20001999和19992000哪個數值更大？第一眼看起來這兩個數字都很大，通過目測看不出來誰打誰小，好像無法進行比較。不過我們通過動靜轉化可以慢慢得出答案，第一步轉化為對數和指數，假設ab>ba，那么我們現在把參數相同的轉化為不等式的一端，在兩端都取自然的對數，可以算出blna>alnb，lnaa>lnbb。這是我們在靜態和靜態之間的轉化，也是第一步的轉化，接下來進行第二步，通過構成公式y=lnxx（x>1），然后把a與b當作是這個公式的自變量，通過計算我們便可以進行比較看看20001999和19992000這兩個數值的哪一方數值更大了。

四、化歸思想在幾何中的應用

幾何也是高中數學的重要組成部分，化歸思想同樣在幾何中多有應用，具體可以分為立體幾何和解析幾何。

1.高維轉化低維

立體幾何都是三維的，在直接運算上很困難，這時我們需要將題目中的立體幾何轉化為二維的平面圖形，然后再進行運算，比如圖二中的立體圖形，題目給定條件為這是一個正三棱錐S-ABC，它的底邊長度是a，而側棱長是2a，現在過A點作與側棱SB、SC全部相交的AEF截面。求該面的最小周長。

在解決這道問題時，我們需要利用化歸思想。周長的距離可以轉化為點與點之間的線長問題，所以我要要將沿著SA把這個三維立體的側面打開，得到圖3，進而只求A和A′之間的最短距離長度就可以了。

2.代數與平面轉化

代數和平面幾何的相互轉化主要體現在有圓錐曲線的題型之中，這樣的化歸思想方法可以將問題簡單化。比如有這樣一道題：F1（-2，0），F2（2，0）是兩個頂點，N為x2+y2=1這個圓形O上的任意一個點，現在M點和F1（-2，0）關于點N對稱，F2M和F1M這條線段的中垂線相交于P，點P的軌跡是什么。有四個選項ABCD，分別對應為雙曲線、橢圓、拋物線和圓。

通過題目所給條件，我們可以進行一定的轉化得出圖3。

然后連接O和N這兩點，因為這兩點是F1F2和F1M的中點，所以通過計算能夠得出F2M=2，所以PM-PF2=2，PF1=PM，PF1-PF2=2。因此，可以算的這道題的答案是A，雙曲線。

兩者都是化歸思想在幾何當中的應用，除此之外還有著定點定值的轉化、位置關系的轉化和動點和定點之間的轉化等。

結論：綜上所述，化歸思想在高中數學的學習當中十分廣泛，想要學好高中數學，就必須具有良好的化歸思想，然而，化歸思想的強化與化歸能力的提升并不是一朝一夕的事，還需要老師的教導以及學生的自我鍛煉。

參考文獻：

[1]楊社鋒.化歸思想在高中數學解題中的應用[D].河南大學，2014.

[2]李昀晟.化歸思想在高中數學解題過程中的應用分析[J].數學理論與應用，2015，04：124-128.

[3]王志惠.化歸思想在高中數學教學中的應用研究[D].內蒙古師范大學，2015.

（作者單位： 長沙麓山國際實驗學校G1509班 410006）endprint