談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)解題入手能力的培養(yǎng)

陳奮

摘要：本文是談?wù)劯咧袛?shù)學(xué)解題入手能力的培養(yǎng)思路，包括觀察能力，運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力和滲透數(shù)學(xué)思想三方面。

關(guān)鍵詞： 入手；觀察；能力培養(yǎng)；滲透；數(shù)學(xué)思想

中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以解題為主要手段，因此數(shù)學(xué)教學(xué)的重點(diǎn)在于幫助學(xué)生理解題意和掌握解題方法，培養(yǎng)學(xué)生的解題能力。本文對(duì)“數(shù)學(xué)解題能力”簡(jiǎn)單劃分為三個(gè)部分：解題入手能力、邏輯推理能力和表達(dá)能力。反思平時(shí)的教學(xué)，對(duì)后兩部分比較注重，指導(dǎo)也到位，而對(duì)于解題入手能力關(guān)注不夠。目前，高中學(xué)生用于學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)科的時(shí)間相對(duì)較多，但效率不高。往往老師對(duì)學(xué)生的問(wèn)題稍微指點(diǎn)一下，就能迎刃而解，很明顯是學(xué)生解題入手能力的問(wèn)題。因此，在正常的教學(xué)過(guò)程中，必須對(duì)學(xué)生“數(shù)學(xué)解題入手”能力的培養(yǎng)加以重視。在此本文從三方面談?wù)勁囵B(yǎng)“數(shù)學(xué)解題入手”能力的思路。

一、培養(yǎng)學(xué)生觀察能力，

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要敏銳的觀察力和豐富的想象力，而數(shù)學(xué)觀察是數(shù)學(xué)解題的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)觀察就是通過(guò)題中所給的數(shù)值、形態(tài)結(jié)構(gòu)、代數(shù)式的形式、圖形等獲取數(shù)學(xué)信息，了解數(shù)學(xué)信息中數(shù)字、圖形之間的內(nèi)在聯(lián)系。由于學(xué)生觀察能力不足，并不熟悉從何做起，教師可利用一些習(xí)題有意識(shí)有方向性地加以引導(dǎo)。以下是我從事教學(xué)多年來(lái)總結(jié)出來(lái)的幾點(diǎn)做法：

1.觀察題目的結(jié)構(gòu)特征，選用有利的解題入口，培養(yǎng)選擇入口的意識(shí) 有些題目入口寬，有多種入手角度，但不同的入手角度形成的解題過(guò)程不同，有繁有簡(jiǎn)，容易入手不一定容易解題。必須通過(guò)觀察題目的結(jié)構(gòu)，尋找出一個(gè)較合適的角度入手，使解題過(guò)程更簡(jiǎn)便。

例如：計(jì)算：13+115+135+163+199

限時(shí)三分鐘，結(jié)果三分鐘過(guò)去了許多學(xué)生未得最后結(jié)果，延到五分鐘，還有部分未完成。我便借用學(xué)生名義提出三種思路：（1）全通分（多數(shù)學(xué)生的選擇），計(jì)算量相對(duì)大。（2）逐項(xiàng)相加：13+115=25 ，25+135=37 ，37+163=49 ，49+199=511。引導(dǎo)學(xué)生：如果后面增加一項(xiàng) 111×13 呢？學(xué)生立即說(shuō)出答案。若增加到10項(xiàng)、n項(xiàng)呢？結(jié)果與項(xiàng)數(shù)有什么關(guān)系？學(xué)生“……”

（3）裂項(xiàng)：13=11×3=12（1-13），115=13×5=12（13-15），135=12（15-17），163=12（17-19） ，199=12（19-111），原式=12（1-13+13-15+15-17+17-19+19-111）=12（1-111）=511。

引導(dǎo)：如果給出題目是：求 13+115+135+……+1（2n-1）（2n+1），你選擇何種方法？

本題題設(shè)簡(jiǎn)單，但入口多。學(xué)生沒(méi)有選擇入口的意識(shí)，缺乏對(duì)題目的細(xì)致觀察，造成多數(shù)學(xué)生直接使用方法一：全通分法，這時(shí)入口容易了，但過(guò)程卻困難。方法二：逐項(xiàng)相加法，兩項(xiàng)相加，能約簡(jiǎn)，很容易得出“規(guī)律”n2n+1，但要有一定的觀察力。方法三：裂項(xiàng)法，要觀察出1（2n-1）（2n+1）=12（12n-1-12n+1），這方法是本題的核心方法。通過(guò)本例題的教學(xué)對(duì)學(xué)生“觀察能力”的培養(yǎng)和“解題入手意識(shí)”的引導(dǎo)有較明顯的效果。針對(duì)解題入手意識(shí)這個(gè)方向的引導(dǎo)，可選一些入口寬的例題或訓(xùn)練題。利用一題多解，拓寬學(xué)生的視野，培養(yǎng)觀察思考能力，養(yǎng)成選擇入手角度的意識(shí)習(xí)慣。

2.有些題目入口不夠明顯，不妨從條件與結(jié)論的差異入手 條件與結(jié)論透露出的信息差異有時(shí)比較直接，從差異中找到聯(lián)系，從而消除差異，便能獲得成功。

例如：設(shè)α為銳角，若cos（α+ π6）=45，求sin（2α+ π12 ）值為

本題把已知條件展開(kāi)或把求值式子展開(kāi)都非常麻煩，而從“角度”入手，觀察條件與求值式子的角度的差異，發(fā)現(xiàn)：2α+π12=2（α+π6）-π4 ，于是sin（2α+π12）=sin2（α+π6）cosπ4-cos2（α+π6）sinπ4=2425×22-725×22=17250

從條件與結(jié)論的差異中尋找入手點(diǎn)也是一個(gè)常用的入手方向。三角問(wèn)題中，有不少題目從“角度”入手，將結(jié)論中角度化為已知的和差倍分，往往比較容易打開(kāi)思路。

3.觀察上、下小題的聯(lián)系

有些題目設(shè)置成2至 3個(gè)小題，往往是前面小題為后面小題作鋪墊或后面小題作為前面結(jié)論的延伸。后面的小題難度增大，入口隱蔽。這時(shí)可以觀察前后小題之間的聯(lián)系，從中找到入手方向。

例如：在△ABC中，ACAB=cosBcosC

（1）證明B=C，（2）已知cosA= -13，求sin（ 4B+π6）值。

第（1）小題中，用正弦定理將AB、AC轉(zhuǎn)化成三角函數(shù)，可以順利證明B=C，而第（2）小題中4B+π6）與條件cosA= -13中的A如何聯(lián)系？聯(lián)系（1）中有B=C，則4B+π6=2B+2C+π6=2（B+C）+π6=2（π-A）+π6即可突破。

4.觀察圖形，讀取相關(guān)信息

有不少題目包含有圖形或可轉(zhuǎn)化成圖形，讀取圖形信息是解題入手的基本能力。

例如：設(shè)函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f，（x），且函數(shù)y=（1-x）f'（x）的圖像如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是：（A）函數(shù)f（x）有極大值f（2）和極小值f（1）（B）函數(shù)f（x）有極大值f（-2）和極小值f（1）（C）函數(shù)f（x）有極大值f（2）和極小值f（-2） （D）函數(shù)f（x）有極大值f（-2）和極小值f（2）

解析：由圖象可知當(dāng)x<-2時(shí)，y=（1-x）f'（x）>0，所以此時(shí)f'（x）>0，函數(shù)遞增.當(dāng)-20，所以此時(shí)f'（x）<0，函數(shù)遞減.當(dāng)x>2時(shí)，y=（1-x）f'（x）<0，所以此時(shí)f'（x）>0，函數(shù)遞增.所以函數(shù)f（x）有極大值f（-2），極小值f（2），選D.

觀察能力的培養(yǎng)就是培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)信息的搜集、初選的思路、方法，對(duì)問(wèn)題觀察、思考的切入角度和方向。使學(xué)生不但能看清題目的顯性條件，還能發(fā)現(xiàn)一些隱性條件或一些隱性關(guān)系，能夠看懂題目的深層意思。

二、提高學(xué)生運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)的能力

數(shù)學(xué)能力體現(xiàn)在對(duì)知識(shí)和方法的運(yùn)用上。教材在每個(gè)知識(shí)板塊都給出了許多概念、性質(zhì)、公式及一些思想方法。在高中階段，大部分題目編寫(xiě)的出發(fā)點(diǎn)是在于對(duì)它們的理解和運(yùn)用。這些基礎(chǔ)知識(shí)是解題思維的源頭，邏輯推理的基礎(chǔ)。應(yīng)該幫助學(xué)生熟練掌握這些基礎(chǔ)知識(shí)并提高運(yùn)用的能力。

1.培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用“定義”“公式”“性質(zhì)”等的意識(shí)。

例如： 下面是關(guān)于公差d>0的等差數(shù)列{an}的四個(gè)命題：

（1）數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；（2）數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列；（3）數(shù)列{ann}是遞增數(shù)列；（4）數(shù)列{an+3nd}是遞增數(shù)列；其中的真命題為.

本題用舉反例的方法可以很快否定（2）（3），可是學(xué)生并不能很容易地舉出適合的反例。有些學(xué)生為了構(gòu)造例子將會(huì)用去較多的時(shí)間，還有可能因例子的不恰當(dāng)?shù)贸鲥e(cuò)誤的結(jié)論。那么解題入手還應(yīng)該從“遞增數(shù)列”定義出發(fā)，求相鄰兩項(xiàng)的差，問(wèn)題將得到順利解決。（1）中an+1-an=d>0，數(shù)列{an}是遞增數(shù)列。（2）中（n+1）an+1-nan=a1+2nd=a2n+1，不能保證為正值，不能肯定是遞增數(shù)列。（3）中an+1n+1-ann=d-a1n（n+1），當(dāng)d>a1時(shí)為正，數(shù)列{ann}才是遞增數(shù)列；（4）中an+1+3（n+1）d-（an+3nd）=4d>0，數(shù)列{an+3nd}是遞增數(shù)列。

2.培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維，對(duì)問(wèn)題的情景而作出適當(dāng)聯(lián)想

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要發(fā)散思維，有一定的想象能力。運(yùn)用好數(shù)學(xué)知識(shí)要有靈活的思維，能對(duì)問(wèn)題與相關(guān)的知識(shí)作出比較和歸類(lèi)，對(duì)問(wèn)題的情景作出適當(dāng)聯(lián)想，才能形成解題思路。在教學(xué)上教師可用一題多解與多題同解、數(shù)形結(jié)合、建模等引導(dǎo)學(xué)生如何聯(lián)想，如何比較。

例如；已知F1 是橢圓 x29+y25=1 的左焦點(diǎn)，P是此橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，A（1，1）是一定點(diǎn)，求∣PA∣+ 32∣ PF1 ∣ 的最小值。

分析：觀察問(wèn)題的表達(dá)式，其中含有特征數(shù)值32，及焦半徑長(zhǎng)∣PF1∣，思考32是否與橢圓離心率有關(guān)？由橢圓第二定義，知PF1d=e=23。過(guò)點(diǎn)P作準(zhǔn)線的垂線PM，垂足為M，則 PA+32PF1=PA+PM 。觀察草圖可知：當(dāng)M，P，A共線，且P在M，A之間時(shí)滿足題意，過(guò)A作直線交橢圓于P1P2兩點(diǎn)，P1（在M.A之間）即為 PA+32PF1取最小值的點(diǎn)，最小值為PM=1+92=112。

解題能力是建立在基礎(chǔ)知識(shí)上的，不能拋開(kāi)基礎(chǔ)知識(shí)談能力，要提高解題能力，先要掌握一定量的基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法。通過(guò)對(duì)這些知識(shí)、方法的歸納類(lèi)比，多次使用，才能達(dá)到更熟練的程度。而發(fā)散思維可以將當(dāng)前問(wèn)題與儲(chǔ)備知識(shí)建立關(guān)系，從而快速形成解題思路。

三、滲透數(shù)學(xué)思想，提升思維品質(zhì)

數(shù)學(xué)思想與方法是《高考大綱》里數(shù)學(xué)科明確規(guī)定的考試內(nèi)容，并在近幾年高考中加強(qiáng)了考查力度，是能力考查的著力點(diǎn)。我們不是為了考試而教學(xué)，而滲透數(shù)學(xué)思想與方法可提升學(xué)生的思維品質(zhì)，提高解決問(wèn)題的能力。有些題目入手較難，若能恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用數(shù)學(xué)思想，將會(huì)柳暗花明，找到入手之處。

1.運(yùn)用函數(shù)與方程思想

運(yùn)用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)，集合與對(duì)應(yīng)的思想去分析和研究所涉及問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系或構(gòu)造函數(shù)，再利用函數(shù)的圖象或性質(zhì)分析問(wèn)題，從而使問(wèn)題獲得解決。可以說(shuō)“函數(shù)”是高中數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)，各個(gè)板塊的知識(shí)都可以與它交匯。利用函數(shù)的性質(zhì)解題是常見(jiàn)的解題思想。

例如：已知cos5θ- sin5θ<7 （sin3 θ- cos3θ），θ∈（0，2π）那么θ的取值范圍是。若用直接法解這道題難度較大。將其變形為7sin3 θ+sin5θ>7 cos3θ+ cos5θ，觀察到兩邊結(jié)構(gòu)相同，考慮構(gòu)造函數(shù)：f（x）=7x3+x5，則上述不等式變?yōu)閒（sinθ）>f（cosθ）. ∵f（x）是R上的增函數(shù)，∴ sinθ>cosθ。又θ∈（0，2π）），于是θ∈（π4，5π4 ）。

本題入手方法是將條件變型成7sin3θ+sin5θ>7cos3θ+cos5θ構(gòu)造函數(shù)f（x）= 7x3+x5 ，使不等式問(wèn)題轉(zhuǎn)化成運(yùn)用函數(shù)單調(diào)性問(wèn)題。在平時(shí)教學(xué)中教師有意識(shí)地滲透數(shù)學(xué)思想。

2.運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想

華羅庚先生說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微。”在分析數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，能運(yùn)用“數(shù)形結(jié)合”思想一方面把數(shù)學(xué)問(wèn)題的數(shù)量信息轉(zhuǎn)換為圖形信息，由圖形的特征的啟示抓住問(wèn)題的本質(zhì)，尋找解決問(wèn)題的途徑，另一方面由形思數(shù)，把空間形式進(jìn)行代數(shù)化處理，用數(shù)量關(guān)系刻畫(huà)事物的本質(zhì)特征，從而探幽發(fā)微。

例如：求 sinθ+1cosθ+2的最大值，最小值

觀察表達(dá)式的特點(diǎn)，形式類(lèi)似于斜率公式：K=y2-y1x2-x1 設(shè)點(diǎn)A（sinθ，cosθ），B（-2，-1），則 sinθ+1cosθ+2表示為直線AB的斜率，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求斜率的最值。點(diǎn)A （sinθ，cosθ）在圓O：x2+y2=1上，思考AB斜率的最值是過(guò)點(diǎn)B的圓O的切線的斜率，最小值是O，最大值是43，本題代數(shù)問(wèn)題幾何化，用圖形特征解最值問(wèn)題。入手角度比較常見(jiàn)。

3.運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想

轉(zhuǎn)化思想是中學(xué)數(shù)學(xué)最常用而又重要的數(shù)學(xué)思想方法之一。運(yùn)用它可將不熟悉的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為熟悉的問(wèn)題，將抽象問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將難以解決的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可以解決的問(wèn)題。

例如：已知函數(shù)f（x）= {x2+1，x≥01，x<0 求滿足不等式f（1-x2）>f（2x） 的x取值范圍。

解答本題的最大“障礙”為不等式中的函數(shù)符號(hào)“f”。如何去掉”f”是解題的入手之處。借助函數(shù)圖象進(jìn)行分類(lèi)討論以實(shí)現(xiàn)等價(jià)轉(zhuǎn)化，進(jìn)而化為求不等式組的解集。

解：借助圖象將不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化為如下不等式組

1-x2>02x<0 或 1-x2>2x2x≥0 解之得：-1

這就成功地將不可直接解決的不等式f（1-x2）>f（2x） 轉(zhuǎn)化成具體的不等式組。

4.分類(lèi)與整合思想

分類(lèi)與整合思想的基本思想是將一個(gè)較復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題分解成若干個(gè)基礎(chǔ)性問(wèn)題來(lái)解答。對(duì)問(wèn)題實(shí)行分類(lèi)與整合，其分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)等于增加了一個(gè)已知條件，將大問(wèn)題（或綜合性問(wèn)題）分解成小問(wèn)題（或基礎(chǔ)性問(wèn)題），優(yōu)化了解題思路，降低了問(wèn)題的難度。其步驟：1）確定分類(lèi)對(duì)象，2）合理分類(lèi)，3）逐類(lèi)討論，4）歸納總結(jié)。

例如：兩人進(jìn)行乒乓球比賽，先贏3局者獲勝，決出勝負(fù)為止，則所有可能出現(xiàn)的情形（各人輸贏局次的不同視為不同情形）共有：

A.10種 B.15種 C.20種 D.30種

解決這個(gè)問(wèn)題的關(guān)鍵是對(duì)整個(gè)比賽場(chǎng)數(shù)進(jìn)行分類(lèi)計(jì)數(shù)：第一類(lèi)，實(shí)際比賽場(chǎng)數(shù)是3，相應(yīng)的情形共有2種；第二類(lèi)，實(shí)際比賽場(chǎng)數(shù)是4，相應(yīng)的情形共有2C23=6種；第三類(lèi)，實(shí)際比賽場(chǎng)數(shù)是5，相應(yīng)的情形共有2C24=12種。因此，滿足題意的情形總數(shù)是2+6+12=20種。本題入手之處是對(duì)事件進(jìn)行分類(lèi)。

數(shù)學(xué)觀察是數(shù)學(xué)信息的搜集、初選，為數(shù)學(xué)思維奠定基礎(chǔ)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀察能力是提高數(shù)學(xué)思維水平的前提；基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法是數(shù)學(xué)能力的載體，是數(shù)學(xué)邏輯推理的支撐點(diǎn)；數(shù)學(xué)思想是數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化的利器。從以上三個(gè)方面培養(yǎng)學(xué)生的解題能力，將會(huì)有明顯的效果。能力培養(yǎng)是一個(gè)系統(tǒng)過(guò)程，需要長(zhǎng)時(shí)間多方面的引導(dǎo)和訓(xùn)練。“解題入手”能力的培養(yǎng)是其中的一個(gè)重要的子系統(tǒng)，在教學(xué)中加以重視，以減少教學(xué)上出現(xiàn)瓶頸現(xiàn)象。

（作者單位：廣西區(qū)貴港市桂平市實(shí)驗(yàn)中學(xué) 537200）