通過極值問題淺談高中物理學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)

戴艷明

摘要：物理學(xué)科核心素養(yǎng)是學(xué)生在物理課程學(xué)習(xí)過程中逐步形成的適應(yīng)個(gè)人終身發(fā)展和社會(huì)發(fā)展需要的必備品和關(guān)鍵能力，包括物理觀念、科學(xué)思維、探究能力、科學(xué)態(tài)度等要素。極值問題由于其涉及知識(shí)面廣、知識(shí)綜合性強(qiáng)的特點(diǎn)，是高中物理教學(xué)的重難點(diǎn)，如何發(fā)揮物理核心概念的引領(lǐng)作用，關(guān)注科學(xué)思維方法的實(shí)際應(yīng)用，使學(xué)生如何能更好的對(duì)原始物理問題進(jìn)行抽象、簡(jiǎn)化、分解建立模型，找到解決問題的物理概念與規(guī)律，幫助學(xué)生形成物理學(xué)科核心素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：極值問題；高中物理；核心素養(yǎng)

中圖分類號(hào)：G633.7文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B文章編號(hào)：1672-1578（2017）06-0240-02

所謂極值問題的求解，指的是在高中物理中，在關(guān)于某一物理量的變化過程中，不管它處于何種狀態(tài)或者何種過程，其發(fā)展都可能會(huì)受到不變的物理規(guī)律和物理?xiàng)l件的制約，為了更好的達(dá)到符合物理問題的實(shí)際，其取值只能確定在一定的數(shù)值范圍內(nèi)，就可能為物理極值問題，極值問題一般是在物理模型的基礎(chǔ)上借助數(shù)學(xué)手段和方法，討論中常用的方法有：二次函數(shù)的極值法，三角函數(shù)極值法，均值不等式法等。

例1.一輛汽車在十字路口等候綠燈，當(dāng)綠燈亮?xí)r汽車以3m/s 2的加速度開始行駛。恰在這時(shí)一輛自行車以6m/s的速度勻速駛來，從后邊趕過汽車。汽車從路口開動(dòng)后，在追上自行車之前過多長(zhǎng)時(shí)間兩車相距最遠(yuǎn)？此時(shí)距離是多少？

解析：根據(jù)題意，自行車做勻速運(yùn)動(dòng)，汽車做勻加速運(yùn)動(dòng)。汽車與自行車的位移之差是一個(gè)關(guān)于時(shí)間的二次函數(shù)，所以可以用二次函數(shù)極值公式求極值。

解：經(jīng)過時(shí)間t后，自行車做勻速運(yùn)動(dòng)，其位移為S1=Vt

汽車做勻加速運(yùn)動(dòng)，其位移為：S2=1/2at2

兩車相距為：ΔS=S1-S2

這是一個(gè)關(guān)于t的二次函數(shù)，因二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)值，故ΔS有最大值。

當(dāng)t=2（s）時(shí)ΔS有最大值6m。

例2.甲、乙兩地相距L=200km，汽車以速度v1=40km/h從甲地向著正西方的乙地開行，同時(shí)有一摩托車以速度v2=30km/h從乙地向著正南方開行，兩車何時(shí)相距最近？最近距離為多少？

解析：設(shè)經(jīng)時(shí)間t后兩車相距為s，則由圖4可知：

s2=（L-v1t）+（v2t）2=L2-2Lv1t+v12t2+v22t2=（v12+v22）t2-2Lv1t+L2

因：v12+v22>0，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，s2有極小值。即當(dāng)：

t=-b2a=2Lv12（v12+v22）=200×401600+900h=165h時(shí)，兩車相距最近，由S2min=4ac-b24a=4（v12+v22）L2-4L2v124（v12+v22）

所以：Smin=14400km=120km

評(píng)：二次函數(shù)的通式：y=ax2+bx+c，當(dāng)a>0時(shí)，取x=-b2a，則y有最小值，當(dāng)a<0時(shí)，取x=-b2a，則y有最大值。運(yùn)用數(shù)學(xué)二次函數(shù)的極值問題求物理解，對(duì)鍛煉學(xué)生的科學(xué)思維能力和理論聯(lián)系實(shí)際能力有很大的幫助。在勻變速運(yùn)動(dòng)中位移與時(shí)間的關(guān)系、遵守動(dòng)量守恒和動(dòng)能守恒的彈性正碰問題及有關(guān)電功率的計(jì)算等問題時(shí)常會(huì)用到，此類問題同樣要注意檢驗(yàn)是否出現(xiàn)增根。

例3.一物體質(zhì)量為m，置于傾角為α的斜面上，物體與斜面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ，若要使物體沿斜面勻速向上滑動(dòng)，求拉力的最小值。

解析：設(shè)拉力與斜面的夾角為θ，物體的受力分析，如圖3所示。

由物體的平衡條件可得：

Fcosθ-μ（mgcosα-Fsinθ）-mgsinα=0

即：F=（sinα+μcosα）mgcosθ+μsinθ

令1/μ=tanβ，則

cosθ+μsinθ=1+μ2sin（β+θ）≤1+ μ2

拉力的最小值：

評(píng)：三角函數(shù)知識(shí)在物理中也有廣泛的應(yīng)用，如力的合成與分解，運(yùn)動(dòng)的合成與分解、機(jī)械振動(dòng)以及電場(chǎng)強(qiáng)度、磁感應(yīng)強(qiáng)度的矢量疊加都有所應(yīng)用。此題構(gòu)造了兩角和的正弦，有效地解決了極值問題的求解，方法直觀易懂。對(duì)于學(xué)生物理觀念、探究能力等核心素養(yǎng)的培養(yǎng)至關(guān)重要。

例4：在一個(gè)盛水容器的側(cè)壁上開一個(gè)小孔，試問小孔應(yīng)開在離水面多高處，才能使得從小孔中噴出的水射程最遠(yuǎn)？

解析：從小孔中噴出的水做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)容器中水面離桌面高H，小孔離水面為h，如圖4

由機(jī)械能守恒定律易得從小孔射出的 水流初速度為：v=2gh

從小孔噴出的水在空中運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t2（H-h）g，

則有：x=vt=2gh·2（H-h）g=2h（H-h），

所以當(dāng)h=H-h，即：h=H2時(shí)，水平射程x有極大值，其值為： Xmax=H

例5.在電視節(jié)目中，我們常常能看到一種精彩的水上運(yùn)動(dòng)——滑水板，如圖5所示，運(yùn)動(dòng)員快艇的水平牽引力作用下，腳踏傾斜滑板大水上勻速滑行，設(shè)滑板是光滑的，若運(yùn)動(dòng)員與滑板的總質(zhì)量為m=70kg，滑板的總面積為S=0.12m2，水的密度為P=1.0×103kg/m3。理論研究表明：當(dāng)滑板與水平方向的夾角為θ（板前端抬起的角度）時(shí)，水對(duì)板的作用大小為FN=PSv2sin2θ，方向垂直于板面。式中v為快艇的牽引速度，S為滑板的滑水面積。求：為使滑板能在水面上滑行，快艇水平牽引滑板的最小速度。

解析：選取滑板和運(yùn)動(dòng)員作為研究對(duì)象，對(duì)其受力分析，滑板和運(yùn)動(dòng)員共受三個(gè)力的作用，即：重力G，水對(duì)滑板的彈力FN（方向與滑板板面垂直）及繩子對(duì)運(yùn)動(dòng)員的拉力F。

由物體的平衡條件可得：FNcosθ-mg=0

又由題中所給的理論模型：FN=PSv2sin2θ，

可得： 由式中可知：快艇的最小速度只由θ決定。

令y=sin2θcosθ，則有：y2=12sin2θsin2θ（2cos2θ）

由基本不等式可得：y2≤12（sin2θ+sin2+2cos2θ3）3

當(dāng)且僅當(dāng)shi2θ=2cos2θ，即θ=arctan2=54.7°時(shí)，y有最大值：ymax=239。

快艇最小速度的表達(dá)式為：Vmin=33mg2PS

代入數(shù)據(jù)，得：Vmin3.9m/s

評(píng)：運(yùn)用均值不等式求解極值問題是高中物理常用的數(shù)學(xué)方法，在物理解題過程中運(yùn)用相當(dāng)廣泛，有利于學(xué)生處理問題時(shí)科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)態(tài)度的培養(yǎng)。

總之，綜合靈活地運(yùn)用多種數(shù)學(xué)方法求解物理的極值問題，是中學(xué)物理問題解決中的一個(gè)難點(diǎn)，在物理教學(xué)過程中可通過求解極值問題發(fā)揮物理核心概念的引領(lǐng)作用，關(guān)注科學(xué)思維方法的實(shí)際應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生的探究能力和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度，使學(xué)生能更好的對(duì)原始物理問題進(jìn)行抽象建立模型，找到解決問題的物理概念與規(guī)律及數(shù)學(xué)方法，幫助學(xué)生形成物理學(xué)科的核心素養(yǎng)。