經歷概念生長促進思維發展

施永法

【摘 要】 如何有效開展概念教學是一個值得研究的課題。概念建構過程中，讓學生親歷概念發生發展的過程，充分挖掘概念本質，充分挖掘概念形成過程中蘊含的思想方法，有利于促進學生思維與能力發展。三角函數周期學習蘊含數形結合思想、特殊到一般思想、轉化與化歸思想等，滲透了類比與歸納的方法等，值得我們研究。

【關鍵詞】 周期；概念教學；發生發展；思想方法

【中圖分類號】 G63.23 【文獻標識碼】 A 【文章編號】 2095-3089（2017）13-0-02

1.教材背景分析

1.1教材的地位和作用

三角函數周期性的地位與作用：（1）利用周期知識，可以研究函數在一個周期上的性質了解在其它周期上的性質，用“有限”的眼光思考“無限”的內容；（2）通過三角函數周期的學習，體會函數性質的描述、刻畫與研究過程，同時體會三角函數是刻畫和描述周期變化的重要模型；（3）學習三角函數周期性也是對高中數學1（必修）中從定義域、值域、奇偶性和單調性等四個方面研究函數性質的補充。

1.2學情分析

學生具有周期現象的生活經驗；初步掌握了函數概念與單調性、奇偶性等性質；理解了誘導公式，如sin（2kπ+α）=sinα，k∈Z；會用三角函數線表示正弦、余弦和正切；已學習正弦函數、余弦函數圖象。

1.3教學重點與難點

重點：理解周期函數概念；

難點：正確歸納周期函數定義，會求周期函數的周期。

2.教學目標

理解周期函數的概念，會求正弦函數、余弦函數和函數（其中，，為常數，且，）的周期。此外，在總結概括周期函數概念的過程中，既感受合作和交流帶來的樂趣，又逐步提升觀察、歸納和表達能力；在求函數（其中，，為常數，且，）周期的過程中領悟化歸思想。通過周期學習，體會數學來源于生活，體會從感性到理性的思維過程，體會數形結合思想。

3.設計思路

周期函數的定義是教學中的一個難點，教學中可以從“周而復始”的現象出發，通過實際模型，結合正弦曲線與幾何畫板動態演示，一步步將圖像性質轉化為函數性質，使語言精確化，通過“每隔一定時間出現”、“函數值就重復出現”等逐步抽象出函數周期性的定義。教學中可以引導學生通過對三角函數實例的具體分析，幫助認識周期及周期函數，要突出“建立刻畫周期性現象的數學模型”這一主題。

4.教學程序

本節課的教學重點是理解周期函數概念，并能運用周期函數概念求三角函數的周期，屬于概念教學。同時，周期函數概念學生是第一次接觸到，是研究函數基礎性質的重要知識，故采用“問題—探究—概括—應用”的教學模式，按照下列程序進行教學：

5.教學過程

5.1創設情景，尋找共性

問題1.世界萬物總在不斷變化中，變化過程中人類總在探索一些不變規律，以此更好認識自然、探索自然。請同學們觀察以下三幅圖，說說這三個運動包含怎樣共同的性質？

【設計意圖】創設情景、引發學生思考。通過觀察生活中、自然界中常見運動，思考三者共同屬性。引出“周而復始”現象。

問題2.同學們還能說出哪些周而復始的現象？數學中有沒有這樣的現象？

【設計意圖】利用生活中周期現象，讓學生觀察、感知“周而復始”，并將話題引申到課題的學習上來，為數學地定義與刻畫周期性做好鋪墊，同時激發學生學習興趣。

5.2幾何直觀，探求本質

問題1.正弦曲線每相隔2π個單位重復出現，反映在函數性質上又是如何刻畫與描述？

【師生活動】教師啟發誘導，學生思考探究，厘清研究思路。通過師生探討、幾何畫板展示，經歷函數性質探究過程：任取一點A，存在對應點B（間隔2π）仍然在圖像上。結合幾何畫板演示，發現并歸納出A點與B點關系：橫坐標相差2π，縱坐標相等，即，。

【設計意圖】由圖象性質探索函數性質，啟發學生思維，把握函數性質研究思路：“圖像點（x，y）函數”。運用形的視角（單位圓）和數的視角（誘導公式）闡釋周而復始的原因。

問題2.何以正弦曲線每相隔2π個單位重復出現？

【師生活動】動態演示單位圓正弦線作正弦曲線過程，引導學生發現角度增加2π，正弦值相等。

【設計意圖】引導學生由表及里、由感性到理性、由直觀到抽象探索函數周期內涵，為符號化表達周期做好鋪墊。同時，滲透數形結合思想，培養學生觀察與聯想能力。

5.3形成概念

類比定義.為了突出函數的這個特性，我們把函數f（x）=sinx稱為周期函數，2π為這個函數的周期。若一個周期函數周期為T，則應滿足怎樣的代數關系？結合圖象，運用類比方法，得出周期函數、函數周期定義。

【師生活動】運用類比方法，學生猜想一般性周期函數定義。得出，教師追問學生是如何想到上述關系式的，分享學生認識。

【設計意圖】類比正弦曲線有周期類比得出周期函數定義，將學生感性認識轉化為理性認識，從特殊到一般地培養學生歸納猜想能力。

5.4理解概念

辨析思考：

（1）函數，有，能否說是的周期？為什么？

（2）函數，周期是多少？

（3）函數的周期為，則也是的周期嗎？為什么？你能得出怎樣的一般結論？

【師生活動】三個思考學生先獨立思考，再小組討論，使學生在交流中不斷完善。思考（1）可以結合數形兩方面讓學生談談不是周期原因；思考（2）引發學生認知沖突，將周期“”進行推廣；思考（3）讓學生論證2T是周期同時，猜想一般性結論，并從數形兩方面加強論證，融入循環替代方法，體現周而復始意義，并利用幾何畫板動態演示。

【設計意圖】通過3個思考，幫助學生辨析函數周期定義，特別是“對定義域內任意x都需成立”，防止學生以偏概全，讓學生學會怎樣學習概念；培養學生透過現象看本質的能力，使學生養成細致、全面地考慮問題的思維品質。思考（1）加強定義“任意性”理解，思考（2）將公式中“”推廣到，思考（3）猜想一般性結論，并從數形兩方面加強論證，融入循環替代方法，體現周而復始意義，同時，思考（2）（3）為引出最小正周期做好鋪墊。

5.5運用概念

例1.求下列函數的周期：

思考：你能從例1的解答過程中歸納一下這些函數的周期與解析式中哪些量有關嗎？

探究：如果函數的周期是，那么函數（）的周期是是否成立？

【師生活動】例1中（1）～（3）由學生先獨立思考，再小組討論，交流結論與求證方法。（4）、（5）學生獨立思考，然后師生共同解決。例1（1）關鍵是讓學生體會應用周期定義求周期；（2）關鍵是引導學生思考從誘導公式可推斷周期是還是2。（3）、（4）則是讓體會求周期的一般過程與方法，并總結規律，為解決（5）和探究做好鋪墊。

【設計意圖】對于例1，運用變式教學思想，逐步改變參數設置，進而讓學生把握運用定義法求函數周期的過程方法。當然，除運用定義法，學生也可運用函數圖象感知周期。引導學生分析函數周期與解析式中哪些量有關？培養學生的分析能力和抽象概括能力，并引申到一般性問題探究。

5.6課堂小結

問題：本節課你學到了什么數學概念？例題的解答中蘊含了什么數學思想和方法？概括和運用周期函數概念的過程中，你的體會是什么？

（1）研究線索：生活實例→幾何直觀→定義抽象→判斷應用；

（2）思想方法：特殊到一般、數形結合、局部到整體；

（3）數學之美：抽象美、符號美、簡潔美、統一美。

【設計意圖】采用問題啟發，學生根據問題思考總結，教師再從研究線索、思想方法、數學之美等方面更高層次的總結。引導學生對所學知識進行小結，有利于學生對已有的知識結構進行編碼處理，加強記憶。

6.教學反思

6.1經歷知識發生發展

如何能讓學生更好學習概念，筆者以為首要的是要讓學生經歷概念發生發展的過程。這個發生發展的過程包括：從具體事例中概括出事物共同屬性、符號化的表達共同屬性，再到辨析概念（能舉正例與反例等），最后達到概念的應用內化等。三角函數周期性概念，筆者不急于直接呈現的符號化表達，而是經歷三次抽象形成概念：首先，從生活中存在的周期現象觀察入手，概括共同屬性；其次，從周期為的正弦曲線入手，數形結合的理解內涵；再則，從特殊到一般，猜想周期為的函數的符號表達，使學生親歷概念生長的過程。

6.2充分挖掘知識本質

“數學本質”是指具體數學知識的本真意義。在教學中，教師要善于對數學知識進行深入挖掘，不斷地自我追問：“客觀事物背后隱藏著什么數學知識與規律？數學知識的本質屬性又是什么？統攝具體數學知識及技能的數學思想是什么？”三角函數周期性的本質是什么呢，形式化的表達中“”其內涵為自變量相差個單位函數值相等，其對應的是曲線上點的間隔規律，教學中要充分認識到這一點，由此，筆者在教學過程推進中，融入數形結合、融入幾何畫板演示，達成從曲線上點的特征到方程坐標的表達。

6.3融入思想方法學習

都知道數學思想方法對數學學習的重要性，數學思想是知識結構的精髓，是數學知識的內核，是數學中的一般性的原理，它具有高度的概括性，有助于學習的遷移。三角函數周期概念的教學是滲透思想方法學習的良好素材，特別是在建構周期概念過程中滲透了數形結合思想、特殊到一般思想、轉化與化歸思想等，滲透了類比與歸納的方法等，新知識的學習不僅是知識的學習更是方法的學習與能力的培養，一般地，數學概念學習是培育學生良好數學思想方法的重要載體，需要我們在教學中深刻挖掘，充分利用，以此更好促進學生思維發展與能力提升。