學生學業成績分析的數學模型

徐楊溢

摘要：本文主要以金華二中高三某班的數學成績為例，運用標準差、方差、偏度、峰度等指標，較單一的“絕對分數”更全面、客觀、合理地分析了學生成績的整體特征，采用頻率直方圖，正態分布圖使得分析更加直觀、清晰。

關鍵詞：學生成績分析 絕對分數 頻率直方圖 正態分布圖

1. 問題提出

眾所周知，初高中現今實行以“絕對分數”來分析一場考試中學生的成績情況，分析學生學習狀況的目的是激勵優秀學生努力學習取得更好的成績，同時為教師如何正確地引導學生學習提供幫助。但是以“絕對分數”來分析只能對基礎條件較好的學生起到促進作用，對基礎條件相對薄弱的學生很難起到鼓勵作用。因此，我們需要更為全面、客觀、合理的方式來進行評價[1]。

我們搜集了金華二中高三某班的521名學生連續四個學期的數學成績。為了更直觀地分析和比較四個學期中學生成績的整體變化以及各學期的的差異，了解學生的學習能力、總體學習成績等，運用統計學知識[2]，對這521名學生的整體成績情況進行了包括每個學期整體成績的平均值、最大值、最小值、標準差、優秀率等多項指標在內的詳細分析。同時，為了更合理、科學地了解學生整體成績特征的發展趨勢，可以用偏度和峰度進行分析。在數據處理[3]時把成績分為四個等級，120分及以上的為優秀，105分到120分之間的為良好，90分到105分之間的為合格，小于90分的為不及格，來分析學生整體學習狀態發展趨勢。最終對學生的整體情況進行全面、客觀、科學的分析說明。

2. 模型建立

2.1 模型一的建立

我們先從整體評價學生成績開始，對這521名學生的整體成績情況進行包括每個學期整體成績的平均分、最高分、最低分、標準差、極差、及格率等多項指標在內的詳細分析。

為了進一步比較每個學期中學生整體成績較各學期平均分的偏向程度和高分層人數的比例，運用偏度（Skewness）公式和峰度（Kurtosis）：

其中，μ表示每學期學生成績的平均分，σ表示每學期學生成績的標準差，x表示每學期中學生的成績，S每個學期學生成績的偏度，K表示每個學期學生成績的峰度。

2.2 模型二的建立

為了更加直觀、清晰地觀測每個學期學生成績的分布情況，了解每個學期中學生的基礎掌握和四個學期中學生學習態度的整體變化。利用直方圖中各頻率面積分布同時，結合正態分布公式如下：

來進一步分析學生的每個學期成績整體分布和學習狀況。

同時，基于把學生的成績劃分為四個等級，120分的及以上為優秀，105分—120分的為良好，90分—105分的認為合格，90分以下的為不合格。對每個學期中每個成績等級段的人數進行分別分類統計，并直觀地將四個學期學習成績等級分布利用簇狀圓柱圖來呈現。

3. 模型求解

3.1 模型一的求解

運用Excel對附件中的基礎數據統計后運用平均值、最大值、最小值、方差、標準差、極差、及格率等多項指標的計算公式進行計算并得到以下結果：

1.四個學期的總平均成績均在100分左右，體現了學生的總體學習情況良好；

2.四個學期的考試難度有所差異第一學期相對簡單，第3學期相對較難，但是仍可以肯定大部分學生的學習能力；

3.四個學期的最高分均在135分左右，因此看出高分層學生的成績無較大波動，較為穩定；

4.四個學期中第一、二學期的標準差較第三、四學期的大，說明一、二學期的分數較為分散，學生的差距較大，三、四學期學生學習的差距略小。由此，說明學生的學習整體狀態具有緊張和松懈期，和所在學年中的上、下學期有關，學生在學年中的下學期學習較上學期更為緊張，差距減小。

將521名同學的四個中的每個學期的整體成績的平均分和標準差分別帶入以上的兩個公式中，可得到以下結果：

1.從四個學期的峰度值可以看出，試卷難易程度決定了高分層的學生數量，可見第一學期之易和第三學期之難，同時也說明學生努力成為高分層即學習更多知識完善自我的意識增強，并在實際中取得了收獲；

2.據每個學期的偏度值，可以判斷出學生每個學期的總體成績分布都屬于負偏態分布，即其波峰偏向于成績較高的右側，體現了學生的總體成績偏向于高分，每個學期的偏度值的絕對值越大，說明偏態程度越來越嚴重，進一步說明學生的學習積極性增強。

3.2 模型二的求解

運用Excel，作出四個學期學生數學成績正態分布直方圖[4]，從圖中可以得到以下結果：

1.可以清晰地觀測到，四個學期的每個學期中學生成績均主要分布在90分—120分之間，說明大部分學生學習中對于基礎的知識內容掌握的比較扎實；

2.進一步可以觀察到第一學期中學生成績正態分布在平均分109分左側所占面積比例明顯多于右側，且分布分散，即低分段的學生較多，體現了第一學期中學生基礎較薄弱；

3.從第二學期至第四學期的學生成績綜合分部中發現頻率的主體分布逐漸向每個學期的平均分聚攏，同時高分層所占頻率面積有了明顯增加，更能肯定學生的基礎的不斷加強，大部分學生的學習態度不斷改善，學習的興趣加深，對自身學習要求不斷提高。

把學生的成績劃分為四個等級，對每個學期中每個成績等級段的人數進行分別分類統計，并直觀地將四個學期學習成績等級分布利用簇狀圓柱圖表示并得到以下結果：

1.因為四次考試的難度有所差異，導致學生成績等級分布出現明顯的不同，但也集中體現了大部分學生能掌握學習的基本知識；

2.通過比較可明顯觀測到，第一學期因為試卷簡單不及格人數最少，第三學期因為試卷較難不及格人數最多，但比較難度相似的第二和第四學期，發現低分層學生的學習積極性和學習態度不斷提高，漸漸向中分層及高分層發展。

4. 結論

運用平均分、標準差、偏度、峰度指標等使得原本單一枯燥的分數變得多樣化，通過比較這些指標，可以更清楚地分析學生成績的整體特征。利用正態分布直方圖，能夠直觀、清晰地看出每個學期學生成績的整體特征。作為教師也可以通過這樣的方式來分析學生的總體成績，一味地追求單一枯燥的“絕對分數”較不利于學生之后的學習情況。

參考文獻：

[1]熊永忠.《重慶科技學院學報：社會科學版》， 2006 （S1）：104-105.

[2]王文博.《統計學：原理、方法及應用》， 西安：西安交通大學出版社，2010.

[3]Darnay， Arsen J. Statistical Record of the Environment. Detroit： Gale Research Inc， 1992.

[4]馬瑩瑩.用Excel畫直方圖和正態分布圖. 《科技信息》. 2011，21：685-686.