基于主成分分析與熵值法結合的多元評價模型的研究

張祥國　丁瑞　蔣幸幸

摘 要：為了全面、系統地分析問題，必須考慮眾多影響因素，這也常對進行多元評價的相應背景。這些涉及的因素一般稱為指標，在多元統計分析中也稱為變量。多元評價模型常用方法有層次分析法，但該方法定量數據較少，定性成分多，不易令人信服。本文利用主成分分析與熵權法的結合，對多元評價模型進行新的探究，使多元評價模型建立的更加精準。

關鍵詞：多元評價模型 結合 主成分分析 熵值法

一、多元評價模型中評價指標體系框架的構建與評價指標的確定

對于一個待評價對象的評價指標體系由反應該對象內涵的指標集及其標準和量化符號構成。“評價對象”與“指標”是相對而言的。在評價體系中，指標的級數越往下，指標越具體。假設一個待評價對象已經建立好了兩級的評價指標。第一層評價指標是直接作用于評價對象的，評價指標A，B，C，D等。第二級評價指標是作用于第一層評價指標，有a，b，c，d，e，f，g等，共N個樣本。為了對多元評價模型更加精準的建立，我們沒有采用普通的分層模式，而是采用了第二層中的每一個指標與第一層中的每一個指標都有關系的模式。

二、利用主成分分析優化指標

1.原始度量數據的標準化收集

p維隨機向量，N個樣本，構建樣本陣列并歸一化到下面的樣本元素：

（1）

其中，

（2）

得到歸一化陣列Z。

由歸一化陣列Z得到的相關系數矩陣：

（3）

2.確定主成分，樣本相關矩陣R特征方程的求解：

（4）

獲取特征根P，確定主成分：

根據 （5）

標準化的指標變量被轉換成主成分：

（6）

稱為第一主成分，稱為第二主成分，…，稱為第p主成分。

P指標是從第一層指標中選出，從而利用這一P指標來取代第一層指標，將多指標轉化為少數幾個綜合指標，直接用于評價對象。

二、利用熵值法客觀計算指標權重并綜合評價

熵是對不確定性的一種度量。信息量越大，不確定性就越小，熵也就越??；信息量越小，不確定性越大，熵也越大。根據熵的特性，我們可以用熵值來判斷某個指標的離散程度，指標的離散程度越大，該指標對綜合評價的影響越大，通過分析P指標所具有的數據的出相應的客觀的加權。然后通過每個指標對應的權重，評估出該評價對象的綜合得分。

1.權重計算

的值（第j個指標下的第i年的指標的比率）

（7）

第j個指標的熵

（8）

計算權重

（9）

（二）

各評估年度的綜合評價值

（10）

是在第i年的P指標的綜合值，即第i年該評價對象的綜合得分。

三、該評價方法的優勢

采用主成分分析法可以做到把多數指標轉變成幾個綜合指標，消除評估指標之間的相關影響。因為實際問題研究中，為了全面、系統地分析問題，我們必須考慮眾多影響因素。這些涉及的因素一般稱為指標，在多元統計分析中也稱為變量。每個變量都在不同程度上反映了所研究問題的某些信息，并且指標之間彼此有一定的相關性，因而所得的統計數據反映的信息在一定程度上有重疊。變量太多會增加計算量和增加分析問題的復雜性。使用主成分分析進行定量分析的過程中，可以從影響帶評價對象的很多個指標中，剔除那些影響較小的指標，把保留的指標轉變成幾個綜合指標。既使指標數量大大減少，又不影響待評對象的綜合評價。

在采用主成分分析確定綜合指標的基礎上，又使用熵值法客觀計算指標權重并進行綜合評價。熵值法基于"差異驅動"原理，突出局部差異，由各個樣本的實際數據求得最優權重，反映了指標信息熵值的效用價值，避免了人為的影響因素，因而給出的指標權重更具有客觀性，從而具有較高的再現性和可信度，且魯棒性較好。

基于主成分分析與熵值法結合的多元評價模型的研究，解決了多元評價模型常用的層次分析法定量數據較少定性成分多，不易令人信服的缺點。

參考文獻

[1]杜棟，龐慶華，吳炎.現代綜合評價方法與案例精選[M].北京：清華大學出版社，2008.

[2]費浦生等.數學建模及其基礎知識詳解[M].武昌.武漢大學出版社，2007.

作者簡介

張祥國（1996—），男，漢族，山東鄆城人，本科生，研究方向：電力系統及其自動化。