讓學生的思維更加“順其自然”

林練

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：A 文章編號：1002-7661（2017）12-0047-03

一、困惑與問題提出

課例“三角形三邊的關系”是人教版教材四年級下冊“三角形”單元中第二課時教學內容，它是在學生初步了解三角形意義的基礎上，進一步研究三角形的特征，即三角形任意兩邊的和大于第三邊。從我們收集到的教學資料（設計、實錄、評析等）來看，有許多專家學者和名師大都是按以下的思路進行教學設計和執教：首先從操作入手，讓學生通過擺小棒活動發現并判斷是不是“任意的三條線段可以圍成三角形”，在得到“不是”這一結論后，再去研究“滿足什么條件的三條線段才能圍成三角形”這一問題；學生在研究時，又先要從反例入手，明白“不能圍成三角形的原因是因為其中有兩條線段長度之和不能大于第三條線段的長”，繼而又再回到研究正例“能圍成三角形的三條線段的長度之間有怎樣的關系”。憑心而論這種以引導學生開展探究活動為主的教學范式若運用得當，確實能收到較好的教學效果。可在實際的課堂教學中，許多老師借鑒這種流程教學時卻出現了學生在活動中問題不明、目的不清、操作混亂、課堂熱鬧，有效性差等問題，而課堂教學往往因時間關系也只能草草收場。這些問題引起了許多學者和一線教師的疑惑，主要有以下兩個方面：

1.先從學習課題的名稱來思考：學習和研究的重點應該是“在一個三角形內三條邊的長度應該滿足怎樣的關系”，而不是重點研究“滿足怎樣條件的三條線段（或小棒）構成三角形”，或者說應該推敲在這節課中這樣兩個知識點的主與次應該怎么樣安排？

2.再從學生的學習過程來看，感覺到這樣的教學對學生的思維水平的要求太高，特別是思考問題的過程要經歷的轉折太多：既要“發現”現象（有的小棒組合不能擺成三角形），又要“明白”原因；既要“探索”能（構成三角形）的條件、又要“說明”滿足（三角形中三邊）的關系。學生經歷了這樣的學習過程后，有可能對本應要重點知道的三角形三邊關系反倒是模糊。其實不僅是學生，就連有相當多的教師在平常的教學中也經常忽視到條件與命題的關系：比如曾有教師命制的考題“一個三角形的三條邊分別是1、1、2，請判斷它能構成三角形嗎？”就讓眾人目瞪口呆。我們嘗試在許多講座活動中作為一個反面例子測試聽課教師，結果還是有相當多的老師無法在第一時間首先意識到這道“題”本就是一個錯誤的命題。

為此我們提出這個課例的教學問題并不是要否定上述的教學范式，而是基于怎么樣借助更為簡潔的教學流程，讓學生的思維過程更加順其自然，不要為了突出教師設計的“精彩”而過于提高學生學習過程中的思維難度。

為此我們不妨再通過研讀和分析教材，來尋找和推敲相對簡約版的教學設計。

二、分析與教學設想

在人教版新修訂的四年級下冊教材中，先是給出了一個情境圖：小明家、學校、郵局和商店及路線圖，再用學生的語言說出自己的體會與困惑，并用文字說明了“兩點間連線”“線段”“最短”和“距離”等事實與概念。這就給我們提供了一種教學思路：可否先從學生的生活現實引導關注一個事實（近路與距離等）；再將其抽象成一個數學問題（三角形三邊的關系）進行研究；然后借助畫三角形、量、算其邊長數據和簡單的比較研究若干特殊具體的例證，再通過歸納得到相應的結論；而適當利用擺小棒活動，就既可以進一步說明結論的正確性，同時又可以知道“滿足怎樣條件的三條線段能構成三角形”這一知識點，（當然也可以直接告訴這種方法）而不必花費太多的工夫；最后再通過練習和鞏固，解決簡單的問題等。按這種教學思路學生思維經歷的主要過程是：從生活經驗的提取到數學原理被發現的抽象過程；從研究若干個三角形的特殊例證到一般結論被證實的歸納過程等，從而顯得更為簡單和自然。當然這些僅是設想，以下嘗試給出簡約版教學的幾個主要的教學環節：

1.提取生活經驗，引出學習課題

首先通過出示課本情境圖，提出問題：“從小明家到學校有幾條路”“哪一條路最近呢”“說說你的理由”等引導學生思考交流，并鼓勵學生結合生活經驗用自己的話來描述：走拐彎的路遠、直路近等。初步感悟兩點間所有連線中，線段最短，并給出這條線段的長度叫做兩點間的距離等數學概念。

【教學片段舉例】

師：小明去上學，他從家到學校可以怎么走？哪一條路最近？

生：有三條路可走，走中間這條路最近。

師：為什么？

生：走拐彎的路遠，走直路近。

師：其實在這個大家熟悉的生活經驗里就蘊涵了許多數學知識。這里的“路近”“直路”等就是數學中所說“兩點間所有連線中線段最短，這條線段的長度叫做兩點間的距離”等知識。

2.實施數學抽象，提出數學問題

接下來再通過兩次數學抽象：一是將實際情境抽象成“三角形”；二是引入字母表示三角形三邊的長度，再根據事實經驗和不等式，從而提出探究三邊之長有何關系的數學問題。

第一次抽象：通過板書演示，連接小明家、商店、學校三地，可以近似地看成一個什么圖形（三角形，下同）？連接小明家、郵局、學校三地，同樣也可近似于一個什么圖形？（注意引導將家、學校等抽象看成點，再連點成線得到三角形）。

第二次抽象：給三角形三條邊分別賦予長度a、b、c后，根據事實經驗可以得到下面一組不等式：a+b>c；a+c>b；b+c>a。這實質上是說明了“在三角形中的兩條邊的和要比第三邊大（長）”。那么是不是所有的三角形的三條邊都有這樣的關系呢？從而引出探究三角形三邊的長度應該有何關系的數學問題。

【教學片段舉例】

師：（指著畫好的三角形）如果用字母a、b、c分別表示三角形的三條邊，根據剛才上學路線的遠近想一想，這三條邊的長度之間有什么關系？你們能用字母式表示嗎？

生1：a+b>c。

師：如果變化一下情景，比如從小明家去郵局哪條路最近呢，想一想在這個三角形中我們又可以得到哪些關系呢？

生2：類似可得到a+c>b，b+c>a。

師：我們找到的三組關系，都說明了“在這個三角形中兩邊的和比第三邊長”，那么這種現象是個別的還是對所有的三角形都存在的呢？值得我們去研究。

（引出課題）

3.畫圖計算比較，歸納得出結論

開展實踐探究活動：要求同座兩人在草稿紙上先畫出一個三角形，并量出三條邊的長度填寫表，然后根據表格數據計算出三角形任意兩條邊的和，并與第三條邊的長度進行比較。然后開展探究情況匯報交流活動，通過每組同學的具體例證，教師引導學生進行歸納而得到“在三角形內較短的兩條邊的和一定比第三邊長”的結論，或者“三角形任意兩邊的和大于第三邊”表述得出的結論（板書）。

【教學片段舉例】

安排探究活動，要求同座兩人在草稿紙上畫一個三角形，量出三條邊的長度，填表計算和比較。

匯報討論部分：

……

師：結合你們的探究表來說說：在你們畫的三角形中三條邊的長度之間有著怎樣的關系？

生：三角形中兩邊的和大于第三邊。

師：還可以怎么說？

生：三角形中任意兩邊的和大于第三邊。

……（得出結論）

4.借助操作明理，鞏固拓展結論

雖然列舉了很多個例子都是說明了三角形中三條邊的關系，但我們無法列舉完所有的三角形，因此我們不妨換一個思路來繼續思考這個問題：教師提供4根小棒，長度為2、2、1、4。要求學生“從中任選三根，試擺出三角形”開展研究，在設計的數據中已經包含了幾種情形。對于能擺成三角形的三條邊長關系當然是符合前面所得到的結論，這樣就起到一個鞏固結論的作用；而對于不能擺成三角形的情形，教師適當指導學生結合小棒長度的關系并說明原因就可，這樣就起到一個完善結論的作用。同時可直接告訴學生這是判斷是否能構成三角形的基本方法。

【教學片段舉例】

……

師：我們再研究取（1、2、4）這樣一組小棒時的情況，通過試一試大家知道它們不能圍成一個三角形，你們怎么看這個問題？

生：感覺其中兩條邊加起來不夠長。

教師用課件動態演示圍不成三角形的過程。

師：提醒大家特別注意這組小棒長度之間有什么特點？

生：有兩條小棒的長度之和小于（或等于）另一條的長度。

生：這個時候它們（小棒）根本就不能圍成三角形，它們也更不可能是三角形的三條邊。

師：怎么樣改變這些小棒的長度才能圍成三角形呢？

師：（應學生要求演示改變短邊的長，比如把1cm延長到3cm）現在可以圍成了嗎？

生：……

師：再看此時它們各邊的長度及關系又怎么樣了？

生：在擺成的三角形三邊中的任意兩邊的和都大于第三邊的長度。

師生共同總結：

師：通過這個活動進一步肯定了我們前面所獲得結論的正確性，即在一個三角形中三條邊中任意兩邊的和都大于第三邊的長度。其實這也是判斷三條線段是否構成三角形的方法。

……

[要說明的是這個環節是學生學習的難點，因此對于學習能力一般的班級在教學時也可以在得到初步結論后，直接告訴學生這也可以作為判斷是否構成三角形的方法，從而降低思維難度]

5.嘗試練習運用，解決簡單問題

（1）完成基本練習。（略）

（2）給出兩條不同長度的紙條，要將其中一條剪成2條，使得3條紙條能擺成三角形，應該怎么做？

（其余略）

通過對“三角形三邊的關系”這節課的重新推敲，我們一直思考：到底怎樣才能讓學生經歷有效的課堂學習呢？我們認為有效的學習活動之一應該是教師能結合學生的實際，精心安排學習流程，引導學生有效地進行數學思考；比如在簡約版的教學設想中：“從生活經驗中抽象出數學問題”的抽象思維引領；“從量、算邊長研究具體的例證到歸納一般結論”的歸納思維方式的運用；以及“得到結論后運用結論解決簡單問題”的演繹思維訓練等，就是對實踐“四基”理念的初步嘗試。在數學教學中特別要注意對學生思維的走向、難度的控制，講究思維訓練的科學性、辨證性，善于處理好教學中有關“經驗”與“新知”、思考時“順序”與“難度”、探究中“主”與“次”等要素的關系，努力提升常態教學的有效性。

（責任編輯 陳 利）