數理結合解決電學圖象問題

李鴻

摘 要：電學圖象是中考、競賽中解決問題的重要工具和考查內容，利用數學中直角坐標系知識結合物理意義分析圖象中的圖線，通過數理結合“湊公式”利用斜率和“面積”、遵循規律“湊數字”、尋找方程“湊圖線”等解決相關問題，形成解決相關電學問題通用的思維方法，并提高學生解答物理問題的思維能力.

關鍵詞：數理結合；解決；電學圖象

物理圖象能方便形象地表示一個物理量隨另一個物理量的變化規律，物理圖象通常是利用數學中的直角坐標系來表示，在物理電學中有很多應用，是中考、競賽的重要內容之一.

1 數理結合“湊公式”

如圖1所示的數學圖象中，傾斜的直線表示y與x成正比，直線的斜率k=yx.在物理圖象中，橫軸、縱軸表示的物理量不同，圖象的物理意義不同.

在解答物理圖象相關問題時，先要理解圖象中的橫軸、縱軸表示的物理量及其單位.圖2所示圖象中，傾斜直線的斜率k=yx=UI，可以“湊”成公式R=UI ，則直線斜率表示定值電阻R=U1I1=U2I2=ΔUΔI.圖3所示圖象中，傾斜直線斜率k=yx=IU （注意圖2、圖3兩圖象區分），可以“湊”成公式IU=1R，則直線斜率表示定值電阻的倒數（或導體的導電性能）.

例1 如圖4所示的電路中，電源電壓保持不變，電壓表和電流表的示數分別用U、I表示，定值電阻R2和整個電路消耗的電功率分別用P、P總表示.如圖5所示的圖象中，反映物理量之間的關系錯誤的是（ ）

分析：圖中變阻器與R2串聯，設電源電壓為U電源、電流表示數為I、電壓表示數為U，R2消耗電功率P =I 2R2=U2R2，則PI2=R2等于定值，對應圖線為傾斜的直線，圖A合理；P =U2R2對應數學圖象y =kx 2（k為定值），對應圖象為拋物線，圖B合理.整個電路消耗電功率P總=U電源I =U電源 UR2，則P總I=U電源等于定值，對應的圖線為傾斜的直線，圖C合理；P總U等于定值，對應的圖線為傾斜的直線，圖D錯誤.

圖2的U -I、圖3的I-U圖象中，還可以“湊”成公式P =UI，圖線與橫軸圍成的“面積”表示電功率（某一電壓下、對應的電流兩點“坐標”乘積）.利用此方法解題，比單純的理論推導，思維要清晰、簡潔很多.

例2 小明在進行“測量小燈泡電功率”的實驗測得如下數據.你認為該燈泡“實際電壓是額定電壓一半時的電功率P1”和“實際電流是額定電流一半時的電功率P2”的大小關系是P1P2（選填“大于”、“小于”或“等于”）.

分析：根據實驗數據或實驗經驗畫出如圖所示的圖象，圖6中陰影面積表示實際電壓為額定電壓一半時的電功率P1，圖7中陰影面積表示實際電流為額定電流一半時的電功率P2（實際作圖中，可以將兩圖作在一個圖中，便于比較），顯然P1>P2.

2 遵循規律 “湊數字 ”

如圖8、9所示的圖象中，曲線都表示y隨x增大而增大，但圖8中的y隨x增大的越來越快，圖9中的y隨x增大的越來越慢（虛線表示曲線上該點的切線對應斜率）.圖10、13中的曲線表示用電器的電阻隨電壓的增大而增大，圖11、12中的曲線表示用電器的電阻隨電壓的增大而減小.

對于曲線，其規律只能“點”（該點對應的橫坐標）與“點”（該點對應的縱坐標）對應.在串聯電路中，如果只有兩個元件，元件有圖11～13中的曲線（如果兩元件的電流和電壓關系在兩個圖象中，將兩元件的電流和電壓關系畫在同一圖中，可以有效地分析和解答問題），可以根據串聯電路中電流相等的規律，分析圖中電流相等線（對應的直線）與圖中的圖線的交點坐標（對應的電壓），只有能“湊”成兩電壓之和等于電源電壓的才是符合要求的“點”.

在并聯電路中，如果只有兩個元件，分析圖中電壓相等線（對應的直線）與圖中的圖線的的交點坐標（對應的電流），只有能“湊”成兩支路的電流之和等于干路電流的才是符合要求的“點”.

例3 如圖14甲所示，當開關S接a時，移動滑動變阻器的滑片P，根據測出的電流、電壓值，畫出了定值電阻R0的U-I圖象；當開關S接b時，同樣根據測出的電流、電壓值，畫出了燈泡L的U-I圖象，如圖乙所示.

（1）求定值電阻R0的阻值；

（2）將R0與燈L串聯接在6 V的電源兩端時，求燈絲的實際電阻值；

（3）將R0與燈L并聯接入電路并調節電源電壓，當R0消耗的電功率為4.9W時，燈L恰好正常發光，求燈L的額定電功率.

分析：解答“將R0與燈L串聯接在6V的電源兩端”一類題的關鍵是利用“串聯電路中電流相等、總電壓等于各元件兩端電壓之和”的特點，利用圖象中電流相等（0.4A豎直線）上對應的電壓（2V、4V）之和為6V兩個特殊點“湊數字”來解答.

解：（1）由圖乙知：U0=2V時，I0=0.2A

∴R0=U0I0=10Ω

（2）分析圖象可知R0與L串聯接在6 V電源兩端時，IL=0.4A，燈兩端電壓UL=2V

∴RL=ULIL=5Ω

（3）R0與L并聯接入電源，R0兩端電壓

U0′=PR0=4.9W×10Ω=7V

∵R0與RL并聯且燈正常發光

∴UL額=U0′=7V

由圖象可知此時：IL額=0.75A

∴L額定功率

PL額=UL額IL額=7V×0.75A=5.25W

3 尋找方程“湊圖線”

數學中，如果已知函數關系式，可以用描點法在圖象中畫出相應的圖象.如果電學中的兩個物理量符合函數關系式（可以結合物理知識求出這個關系式），數學圖象就變成對應的物理圖象，“湊”成需要的圖線，再利用圖線來解決問題.

例4 如圖15甲所示為一燈泡兩端的電壓與通過它的電流的變化關系曲線.如圖乙所示，將兩個這樣的燈泡并聯后再與10Ω的定值電阻R0串聯，接在電壓為8V的電源上（不計電流表和電源的內阻），求：通過電流表的電流值以及每個燈泡的實際功率.

分析：由圖甲中燈泡的伏安特性曲線知燈泡的電阻溫度升高而增大.設圖乙中每個燈泡兩端電壓為U、電流為I，由并聯電路電流規律知電流表示數為2I，電阻R0兩端電壓為2IR0，則電源電壓U總=U +2IR0，再將U總=8V、R0=10Ω代入上式整理得一次函數U =8-20I，采用描點法把該直線圖15上畫出，可得圖16所示圖象.

由圖16可知這兩條圖線的交點為U1=2V、I1=0.3A，同時滿足了電路結構和元件的要求，此時通過電流表的電流值IA=2I1=2×0.3A=0.6A，所以每個燈泡實際功率P =UI=2V×0.3A=0.6W.

解題小結：初中電學中，需要計算或分析電路中消耗電能元件可分為四類：①定值電阻（對應的U-I或I-U圖象是一條傾斜的直線）、②可變電阻（滑動變阻器、電阻箱、受溫度影響的電阻如燈絲的電阻、熱敏電阻、光敏電阻等，對應的U-I或I-U圖象是一條曲線）、③電動機（電能主要轉化為機械能）、照明元件（電能主要轉化為光能）、④充電電池設備（電能主要轉化為化學能）.只有定值電阻整條直線對應歐姆定律，其他元件能否使用歐姆定律需要看條件分析.但所有的電路中，串聯電路的電流、電壓規律，并聯電路的電流、電壓規律都可以使用.

類似例4的題目，同一元件同一工作狀態時，其電流、電壓和電阻等相同.用不同的方法得出的同一元件的圖線的交點必將對應同一元件同一工作狀態的電流、電壓和電阻等物理量.

數學知識是解答物理問題中最常用的工具之一，結合物理規律，利用圖象處理實驗數據、得出規律，利用圖象解答相關的問題是學生需要培養的重要能力，也是在高中物理的學習中需要的能力.