在立體幾何中直線與平面的角的求解方法

孔德龍

摘要：立體幾何的知識是高考的考點，也是同學們學習的重點。在立體幾何的知識當中，直線和平面所成的角（簡稱：線面角）的求解時很多同學一致認為的難點。在這樣的情況下，需要我們對它的求解方法進行掌握，這樣才能夠培養我們的數學思維，幫助我們快速的解題，提高數學的成績。本文主要對立體幾何中直線與平面的角的求解方法：三棱錐中線面角的求法、利用平面垂線的性質來求角、公式法和利用轉化的思想來求角這四種方法進行分析和探討，為同學們解決立體幾何中線面角的求解，提供參考和幫助。

關鍵詞：立體幾何；線面角；求解

立體幾何的知識也是高考數學中的一個重點知識，也是必考的題目。在高中的數學當中，立體幾何所包含的知識點是非常多的，最典型的內容就是線面角的計算。在立體幾何中，線面角是較為常見的考題之一，可是有的同學由于本身的空間思維和自己的邏輯思維能力比較差，因此在這一部分內容的學習中，會非常的吃力，難以對線面角的角度進行正確的計算，導致題目在解答的時候出現錯誤，造成了不必要的失分，影響了自己的成績。在這樣的情況下，同學們在進行立體幾何線面角的學習時，要掌握計算的方法，這樣才能夠幫助我們提高自己的數學成績，同時也提高我們的數學思維。

一、三棱錐中線面角的求法

在進行立體幾何線面角的計算式，解法的重點在于我們自己是否能夠明確地找出直線和平面所形成的夾角。有的同學自己的空間思維能力是不足的，因此沒有辦法正確的找到直線和平面所形成的夾角，因此在解題的時候容易出現錯誤。例如我們在三棱錐中求解，下面小的時候就應該首先對底面進行確定，然后經過頂點做底面的垂線，形成直線在底面上的投影，然后再對角度展開相關的計算，在這個過程當中，要注意線面角的角度必須為銳角或者直角，不能夠出現鈍角。

二、利用平面垂線的性質

我們在解決線面角度問題的時候，也可以選擇利用平面垂線的性質來幫助我們進行解答。首先，我們應該建立一個和所求的平面垂直的平面，并且使得這一個平面經過我們所求的直線。一般來說，經過所做平面和直線相交的點做所求平面的垂線是接下來要完成的步驟，然后連接垂足和斜足，所得到的角就是求解的線面角。利用平面垂線的性質來幫助我們解決問題是比較常用的一種方法，但是也是同學們在求解中比較容易忽略的一種方法，因為很多線面角所形成的角都不是直角，因此很少同學會把它和平面的垂線進行聯系. 有的同學即使懂得使用這種方法，也會因為垂足和斜足之間的區分問題和尋找問題出現困難重重的現象[1]。

三、公式法

公式法在立體幾何中求解，直線和平面的角也是比較常用的一種方法，它主要是利用老師所教授的公式來對線面角的角度進行求解，也就是我們常說的三余弦定理，但是這個定理一般是用在填空題和選擇題當中比較多，因此對于公式的熟練掌握，可以幫助我們快速的解決問題。所謂的三余弦定理，指的是設有一個平面，并且存在一個斜線l，斜線和平面是香蕉的，并且它們所形成的夾角記為∠l，平面內的直線m和ll在平面上的投影我們記為l，它們的夾角是∠2，l和m所形成的夾角記為α，那么就會存在計算公式：cosα=cos1cos2。這個定理也就是最小角定理，或者是爪子定理，主要用來對平面斜線和平面內直線所形成的最小角來進行求解，我們在利用這種方法，對題目進行解答的時候要注意∠1和∠2都必須是銳角。

四、利用轉化的思想來進行解題

我們利用轉化的思維來進行題目的解答是，主要是把下面的角度問題轉化成對斜線上一點到平面之間的距離進行求解的問題，然后再通過正弦、余弦、正切這三個定理來求出相應的角度。在這樣的情況下，就需要同學們熟練地對特殊角度進行掌握，例如30°、60°和90°的正弦值、余弦值和正切值，這樣才能夠幫助我們更加快速的解決相應的問題。除了對特殊角度的正弦、余弦和正切值進行掌握之外，對于非特殊角度的三個值計算方法也要進行掌握，這樣才能夠更好地應對各種各樣的計算問題。

五、結語

對于很多同學來說，我們在學習立體幾何的時候，直線和平面之間的角進行求解是很多同學一致覺得的學習難點，其主要的原因是同學們本身的空間思維和邏輯思維就比較缺乏，對于線面角的定義把握不夠準確，因此沒有辦法正確地找到直線和平面所形成的夾角，從而阻礙了解題思路的進行。在這樣的情況下，我們在日常的學習中應該不斷的通過練習，培養自己對線面角進行尋找的能力，同時也加強我們解題思路的養成，讓我們自己可以在比較短的時間內對立體幾何中哪一個角是自己所要求的線面角進行合理的判斷[2]。除此之外，還要不斷的鍛煉我們自己做輔助線的能力。如果我們能夠把上述的能力都進行切實的提高，那么在解決立體幾何的問題是對線面角的尋找就不會是我們的難點。同時，我們的解題速度和解題的正確率都會得到明顯的提高。

參考文獻：

[1]周義.基于高中數學立體幾何線面角的計算解法研究[J].讀寫算：教育教學研究，2015（50）

[2]田宏偉.高中數學立體幾何線面角的計算解法舉例[J].軟件：電子版，2014（6）：221-221