判斷幾種不同的初等函數的方法研究

石又尹

摘要：初等函數是最常見的一種函數類型，它不僅包括了一部分常見的簡單函數，同時還包括了由這些函數經過有限次四則運算或復合所得到的函數。在中學的學習當中，我對不同初等函數的判斷方法是非常基本的，本文主要從初等函數的概念出發，立足初等函數的判斷，也對幾種不同的初等函數的方法進行研究，為相關的學習提供參考。

關鍵詞：判斷；初等函數；方法；不同

在中學數學的學習當中，我們所接觸到的函授基本上都是初等函數，因此，怎么樣對一個函數進行判斷，確定它是否是初等函數不僅是初等函數學習的最基本內容，同時也是為我們大學進行高等數學學習打下的扎實基礎。對于初中函數的判斷來說，它有一定的方法和推論。如果能夠對這些內容進行掌握，就能夠幫助我們更好地進行這方面內容的學習。

一、初等函數的概述

初等函數是最常用的一類函數，它包括常數函數、冪函數、指數函數、對數函數、三角函數及反三角函數等，同時還包括了由這些函數經過有限次四則運算或函數的復合而得的所有函數。初等函數是中學函數學習的主要內容，常見的初等函數如下：

①常數函數：對定義域中的一切x對應的函數值都取某個固定常數的函數。

②冪函數：形如y=xa的函數，式中a為不等于零的常數。

③指數函數：形如y=ax的函數，式中a為不等于1的正常數。

④對數函數：指數函數的反函數，記作y=loga x，式中a為不等于1的正常數.指數函數與對數函數之間成立關系式，loga ax=x。

⑤三角函數：即正弦函數y=sinx，余弦函數y=cosx，正切函數y=tgx，余切函數y=ctgx，正割函數y=secx，余割函數y=cscx。

⑥反三角函數：反正弦函數y=arc sinx，反余弦函數 y=arc cosx（-1≤x≤1，0≤y≤π），反正切函數 y=arc tgx，反余切函數y=arc ctgx（-∞

二、初等函數的判斷意義

在中學，關于初等函數的學習，很重要的一部分學習內容是學會如何對初等函數進行判斷，也就是說，要學會掌握方法，判斷一個函數是否是初等函數。如果要運用方法對一個函數是否是初等函數進行判斷，這是要對初等函數的基本性質進行合理的掌握，同時還要掌握一定的方法，幫助我們快速地進行判斷。任何的初等函數，在它自己的定義區間上都是一個連續的函數，如果在大學中進行高等數學的學習，就會知道連續函數的概念是非常重要的，它在微分學、積分學、常微分方程、無窮級數及復變函數中出現的頻率都是非常高的，因此在中學階段學會對初等函數進行判斷是非常重要的，也是基礎內容[1]。

三、判斷幾種不同的初等函數的方法研究

1、用定義法來判斷已知的函數是否是初等函數

從初等函數的定義出發，利用定義來對一個函數進行判斷，是初等函數判斷方法當中最基本的，也是檢驗我們對初等函數概念掌握情況的一個重要方式。從初等函數的定義出發，我們可以知道，有常數函數、冪函數、三角函數等基本的初等函數通過有限次四則運算或者函數的復合所得到的函數也是初等函數，并且復合型的初等函數是考試中最常考的題目。在對這類型題目進行解答的時候，首先要對復合的函數進行合理的結構明晰，要清楚地知道它是有哪些函數進行復合所得到的，這些參與復合的函數是否是初等函數，同時還要對這個復合所得到的函數是否有意義進行判斷，如果它是沒有意義的，那么它就不是初等函數。此外，還要掌握一些基本的非初等函數類型，例如高斯函數、狄里克雷函數和黎曼函數。

2、對分段函數是否是初等函數進行判斷

分段函數也是高中函數學些常見的內容，那么分段函數是否是初等函數？如果不是，怎么樣的分段函數才是初等函數，也是同學們要掌握的知識。這個時候我們就需要掌握兩個基本的推論，第一個推論是初等函數的絕對值是初等函數，第二個推論，是基本的初等函數，它的絕對值函數經過有限次的四則運算和復合運算所得到的函數也是初等函數。簡單點來說，就是我們對分布函數進行判斷的時候，可以采用變形的方式把它轉換成含有基本初等函數，絕對值函數有現身四則運算或者復合運算法一個具體的表達式，然后再利用上面的這兩個推論來進行判斷，確定它是否是初等函數[2]。

3、其它的判斷方法拓展

除了使用上述兩種方法來對初等函數進行判斷之外，還可利用連續性來進行判斷，如果一個分段函數在它的定義上是連續的，那么它就是初等函數，反之則不是初等函數。由于在中學的學習當中，關于函數連續性的學習是非常有限的，這是大學高等數學所重點學習的內容，也是數學專業基礎性學科《數學分析》的學習重點，因此對于這部分內容的學習，同學們可以進行有選擇性的開展，在有條件的情況下可以進行適當的補充和了解，這樣才能夠更好的幫助我們對初等函數進行判斷。

四、結語

綜上所述，函數是數學中的重要組成部分，也是非常重要的一部分內容，在中學我們所接觸到的函數都是初等函數，但是如何對函數進行判斷確定它是否是初等函數是非常重要的，是檢驗我們對初等函數的基本性質是否掌握得當的一個有效途徑。

參考文獻：

[1]徐俊芳.初等函數的判定方法[J].商丘職業技術學院學報，2005，4（5）：19-20

[2]盛天鈞，馮杰.分段函數為初等函數的判定定理[J].鎮江高專學報，2001，14（2）：69-72