淺析化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中的應(yīng)用

萬(wàn)志明

【摘要】化歸思想能夠?qū)⒁恍?fù)雜的數(shù)學(xué)函數(shù)轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)關(guān)系，有利于問(wèn)題的解決.因此，有必要加強(qiáng)化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)中應(yīng)用的研究，提高解題效率.

【關(guān)鍵詞】化歸思想；函數(shù)；應(yīng)用

化歸思想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種行之有效的方法，將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題是化歸思想的主要體現(xiàn)，也是解決高中數(shù)學(xué)函數(shù)問(wèn)題的主要方法.通過(guò)培養(yǎng)學(xué)生化歸意識(shí)，使其在學(xué)習(xí)函數(shù)內(nèi)容時(shí)能夠主動(dòng)地應(yīng)用化歸思想，有利于提高學(xué)生的解題效率，大大簡(jiǎn)化解題的過(guò)程.甚至有時(shí)候化歸思想是解決一些復(fù)雜函數(shù)關(guān)系的唯一方法，由此可見(jiàn)加強(qiáng)化歸思想的應(yīng)用具有重要的現(xiàn)實(shí)意義.

一、將未知問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知問(wèn)題

在解題的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)許多學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)之間的融會(huì)貫通能力不足，特別是在面對(duì)一些比較新穎的題材時(shí)，學(xué)生不知道從哪里著手.在這種情況下，教師可以將數(shù)學(xué)函數(shù)知識(shí)結(jié)合起來(lái)，加強(qiáng)問(wèn)題與函數(shù)知識(shí)的聯(lián)系，這樣能夠提高學(xué)生解決問(wèn)題的能力，同時(shí)，也能夠開(kāi)拓學(xué)生解題的思路，使學(xué)生能夠透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，熟練地應(yīng)用已經(jīng)學(xué)習(xí)過(guò)的知識(shí).這就是將未知的理論轉(zhuǎn)化為已經(jīng)熟悉的理論，從而找到解決問(wèn)題的突破口.

例1 求函數(shù)y=cosx+sinx+cosx·sinx的最值區(qū)間.

分析該函數(shù)的特點(diǎn)，可以想到cosx+sinx與cosx·sinx之間的關(guān)系，繼而假設(shè)用參數(shù)A代表函數(shù)cosx+sinx，那么原函數(shù)可以轉(zhuǎn)化為y=12（A2-1）+A，最后轉(zhuǎn)化為常見(jiàn)的二次函數(shù)，再由三角函數(shù)求出A的取值區(qū)間，這樣就能夠解決該類題目了.其關(guān)鍵是要有化歸思維和意識(shí)，同時(shí)，在轉(zhuǎn)化的過(guò)程中準(zhǔn)確地把握自變量的變化范圍，只有這樣才能使問(wèn)題得到圓滿的解決.

二、向題根的轉(zhuǎn)化

向題根轉(zhuǎn)化是化歸思想中一種重要的思維方法，對(duì)于解決數(shù)學(xué)問(wèn)題具有重要的作用.在高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，需要通過(guò)大量的習(xí)題來(lái)鞏固概念、學(xué)習(xí)相關(guān)的解題技巧等.但大量的習(xí)題往往會(huì)增加學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，使學(xué)生難以感悟到數(shù)學(xué)題目中的精髓，為了做題而做題，難以達(dá)到做題的效果.向題根轉(zhuǎn)化的思想能夠有效地避免這種狀態(tài)，能夠通過(guò)現(xiàn)象直抵本質(zhì)，發(fā)現(xiàn)題目的共同點(diǎn)，最終掌握基本的知識(shí)點(diǎn)，使學(xué)生能夠從大量的無(wú)效習(xí)題中解放出來(lái).向題根轉(zhuǎn)化能夠使類似的題目得到快速的解決，在函數(shù)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，函數(shù)之間可以相互轉(zhuǎn)化，也就是向題根方面轉(zhuǎn)化.在解題的過(guò)程中，可以考慮轉(zhuǎn)化基本函數(shù)，轉(zhuǎn)化為題根之后，就會(huì)使復(fù)雜的函數(shù)問(wèn)題簡(jiǎn)單化，這對(duì)于解決一些復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系具有重要的幫助.通過(guò)這種練習(xí)，能夠更好地找到問(wèn)題的突破口，最終找到解決該類問(wèn)題的規(guī)律，從而形成一種系統(tǒng)化的解題流程.

例2 現(xiàn)有函數(shù)y=（log2x）2+（t-2）log2x-t+1，當(dāng)-2≤t≤2時(shí)，函數(shù)y取正值，現(xiàn)在需要求x的變化范圍為.

分析該問(wèn)題時(shí)，可以看到函數(shù)y的組成形式比較復(fù)雜，在這種情況下考慮到應(yīng)用化歸思想，將函數(shù)統(tǒng)一起來(lái)，這樣才能有效地解決問(wèn)題.通過(guò)向題根轉(zhuǎn)化之后可以看到，其題根是一次函數(shù)，結(jié)合題目的條件，該函數(shù)是關(guān)于t的一次函數(shù)，因此，在解題時(shí)，應(yīng)當(dāng)將原來(lái)的函數(shù)轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的一次函數(shù).即y=f（t）=（log2x-1）t+（log2x）2-2log2x+1.

由此可知，f（t）是一次函數(shù)，當(dāng)-2≤t≤2時(shí)，那么f（t）>0成立.根據(jù)一次函數(shù)的特點(diǎn)，可以得到f（-2）>0與f（2）>0成立，代入關(guān)于t的一次函數(shù)中，最終得到關(guān)于log2x的不等式，最終求得08，得到了關(guān)于x的取值范圍.由此可見(jiàn)，這種化歸思想非常的奇妙，對(duì)于解決一些復(fù)雜的數(shù)學(xué)問(wèn)題具有重要的作用.其前提是要熟悉相關(guān)的函數(shù)特點(diǎn)，只有這樣才能實(shí)現(xiàn)不同函數(shù)關(guān)系的融會(huì)貫通.

三、數(shù)形轉(zhuǎn)化的應(yīng)用

在高中數(shù)學(xué)解題中，數(shù)形轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用的比較多也比較普遍，圖形具有更加直觀性的特點(diǎn)，能夠更有利于問(wèn)題的解決.圖形轉(zhuǎn)化包含的內(nèi)容比較多，它能夠打開(kāi)學(xué)生的視野和思路.

例3 已知函數(shù)f（x）=2-|x|，x≤2，2（x-2）2，x>2， 函數(shù)g（x）=b-f（2-x），其中b是實(shí)數(shù)，假設(shè)函數(shù)y=f（x）-g（x）有四個(gè)零點(diǎn)，那么b的取值范圍是（ ）.

A.74，+∞

B.-∞，74

C.0，74

D.74，2

分析 由函數(shù)f（x）得到f（2-x）的表達(dá)式，由此可得y=f（x）+f（2-x）-b的表達(dá)式，由x的取值范圍以及四個(gè)零點(diǎn)，可以得到函數(shù)y=0，根據(jù)圖像可以知道b的取值范圍為74，2.在數(shù)形結(jié)合的題目中，由于題目大部分涉及方程解的個(gè)數(shù)或者函數(shù)的零點(diǎn)，對(duì)于這些類型的函數(shù)問(wèn)題，可以考慮應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)解決問(wèn)題.它比純粹的數(shù)學(xué)方法相對(duì)簡(jiǎn)單，而且節(jié)省時(shí)間，特別是面對(duì)選擇題時(shí)，由于不需要得到準(zhǔn)確的結(jié)果，結(jié)合四個(gè)選項(xiàng)就可以得到一個(gè)類似的結(jié)果，從而能夠提高解題的效率.

四、結(jié) 語(yǔ)

在高中數(shù)學(xué)函數(shù)學(xué)習(xí)的過(guò)程中，化歸思想是一種非常有用的方法，而且效率比較高.在教學(xué)的過(guò)程中，教師應(yīng)當(dāng)注意引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)，加強(qiáng)不同函數(shù)關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化，最終將復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化為比較簡(jiǎn)單的函數(shù)關(guān)系，使數(shù)學(xué)問(wèn)題迎刃而解.

【參考文獻(xiàn)】

[1]李昀晟.化歸思想在高中數(shù)學(xué)解題過(guò)程中的應(yīng)用分析[J].數(shù)學(xué)理論與應(yīng)用，2015（04）：124-128.

[2]王新兵.化歸思想在高中數(shù)學(xué)函數(shù)解題中的應(yīng)用[J].中學(xué)生理科應(yīng)試，2016（03）：8-9.