淺談求異思維在學生數學創新思維中的應用

吉曉利

【摘要】創新思維是一種不依常規，力圖多角度、多層次、多方位思考問題，尋求答案或解決問題途徑的求異思維.而求異便是創新的基礎.要創新需要先求異，數學求異往往需要發散性的去思考，盡可能多地尋找解決問題的辦法.在數學教學過程中，要引導學生發展自己的求異思維，多思考、多練習，創造適用于自己解決問題的方式，來達到與實踐相結合的教學目的.引導學生先求異再創新，突破數學常規思維，是今天數學教育工作者的重要任務之一.

【關鍵詞】數學學習；求異思維；創新思維；發散；思考

當今社會的飛速發展，為知識型人才帶來了無可比擬的發展平臺.然而，發展越快，優勝劣汰的現象就更加明顯，這個時候，創造出新的東西并應用它會是你脫穎而出最快捷的途徑.同理，在學習的過程中，創造往往會讓人收獲意想不到的效果.要創新，則必須要尋找出不一樣的東西，要在現已有的東西中去求異，來加深我們對事物的認知與理解.

一、創新必須先求異

求異，顧名思義就是尋找不同的知識或事物，是發展創新的基礎.求異思維又叫作發散思維，不同于常規思維的是，它打破了我們使用同一方法來解決類似問題的思維定式，向不同的方向，運用各種可能的設想來解決問題，得到一種新的、快捷的解題方法.也可以說，求異思維是創新思維的核心.

例1已知a，b，c，d均為正數，且a2+b2=1，c2+d2=1，求證：ac+bd≤1.

分析由已知可以直接采用代數法來解答，過程相對來說比較復雜.因為a，b，c，d都是正數，且a2+b2=1，c2+a2=1，可以運用三角函數去解，然后，采用余弦定理得出結論.

證法一把已知兩式相加，得

a2+b2+c2+d2=2，①

由a2+c2≥2ac，b2+d2≥2bd，兩式相加，得

a2+b2+c2+d2≥2（ac+bd），②

比較①和②得，ac+bd≤1.

命題得證.

命題得證.

二、求異創新四部曲

要創新必須先求異，求異不僅僅使我們表面所說的一種不一樣的思維方式，它需要建立在一定的理論基礎之上，并且要準確、可信.求異創新思維的形成不是一朝一夕的事情，需要在教學的同時，通過打破常規的思維方式，一步一步引導學生“多解”“多變”“多疑問”“多反思”[1]，在學習的過程中去了解，去掌握，去創新.

（一）多解

在數學學習中，我們知道，一道題并不是只有一種解法.我們在遇到問題時，首先，想到的是與問題條件相一致的系統的解題思路，然而，這卻不一定是最快捷、最準確的方法.“多解”就是讓我們對于一個問題盡可能多地提出設想，從習慣性的思維方式中走出來.

分析由已知可以將分母通分去掉然后進行解答，認真觀察，也有很多其他的解法，可以利用換元法將已知的元素替換掉，或者引用參數量，這樣可以更加快捷地得到解題的答案，還可以運用坐標解析等等.

證法一將已知條件去分母

（二）多變

我們都知道，一道數學題不僅有不同的解法，并且問題的本身還是可以千變萬化的.我們經常會遇到這種情況，看似相似的問題，但卻有不同的解題方法和思路，思考的出發點也不盡相同，而一個問題也同時，有多種問法，解法卻是相同的，打破了學生想著簡單模仿就可以解決問題的幻想.例如，改變條件，交換結論與條件等等，還可以由條件猜結論，由結論猜需要已知的條件，這些都需要我們從不同的方向去認識數學問題.求異創新，會使得數學學習更加趣味盎然.

1.同一問題的不同問法

分析：上述六個問題看起來大不相同，但是如果我們仔細觀察，會發現這幾個問題思考的出發點和解答方法卻異曲同工，只是換了不同的問法而已.

2.相似問題的不同解法

分析由已知，我們不能直接采用均值不等式的方法，但是可以通過介入新的參數，再利用均值不等式解出答案.

解答設參數λ滿足0<λ<2，

3.猜條件，猜問題

在解決數學問題時，我們會發現，數學解答題總會出現兩個或者兩個以上的問題，需要我們從已知的條件中去尋求答案.為了讓學生更加得心應手地解決此類問題，發現問題與條件、問題與問題之間的關聯，我們應該在日常教學中對學生的解題思維加以多方面的引導和訓練.例如，給出已知條件，根據條件去猜測可能會問到的問題；或者給出一個結論，要得出這一結論又需要什么條件等等.

例5直線y=ax+b交坐標軸于A、B兩點，以線段AB為邊作正方形，過點A，D，C的拋物線與直線另一個交點為E.根據以上條件，我們可以發現這道題的問題有哪些？

分析我們可以由上述已知條件來猜這道題可能會給出的問題：

（1）求C，D的坐標；

（2）拋物線的解析式；

（3）正方形沿著直線運動，若給出速度，求正方形落在x軸另一邊的面積S與滑行時間t的函數關系式.

例6需要已知什么條件，來證明在四棱錐S-ABCD中，M是側棱SC的中點（如圖1）？

分析由題給的結論，若我們要證明該結論，則需要已知的條件有：

（1）底面ABCD為矩形，且SD⊥底面ABCD；

（2）AD=a，DC=SD=b；

（3）∠ABM=60°，M在側棱SC上.

（三）多疑問

數學試卷的解答題有一個明顯的特征，就是一題多問，不論是數列，函數還是代數問題，往往不會只有一個或者兩個問題，總會有那么一兩道如同附加小題的存在，讓我們束手無策，甚至會由于考試時間問題而放棄解答.數學問題中，題目所給出的已知條件會帶有不一樣的問題和結論，這就需要強大的綜合知識，系統性地來解決，更要在日常學習中對于所學到的知識反復了解，求異和創新，會有意想不到的收獲.

例6在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=4，AB=2，以AC的中點O為球心，AC為直徑的球面交PD于點M，交PC于點N.

（1）求證：平面ABM⊥平面PCD；

（2）求直線CD與平面ACM所成的角的大小；

（3）求點N到平面ACM的距離.

解答由題意可作圖，如圖2.

（1）由題可知，AC是所作球面的直徑，則AM⊥MC.

又因為PA⊥底面ABCD，

則PA⊥CD，又CD⊥AD，

所以CD⊥平面PAD.

則CD⊥AM，所以AM⊥平面PCD，

所以平面ABM⊥平面PCD.

（2）如圖所示，建立直角坐標系，

則A（0，0，0），P（0，0，4），B（2，0，0），C（2，4，0），D（0，4，0），M（0，2，2）；

設平面ACM的一個法向量n=（x，y，z），

由n⊥AC，n⊥AM，可得2x+4y=0，2y+2z=0.

令z=1，則n=（2，-1，1）.

（3）由條件可得，AN⊥NC，

一道習題在相同條件下可以提出很多問題，就上述問題而言，我們還可以試求球體在四棱錐平面PCD切割的圓的表達式或者面積等問題.當然，求異創新并不是局限于此，我們還可以將思維擴散到其他方面，如，三角函數，代數求值問題等等，使我們對數學知識的探索更深一層.

（四）多反思

“學而不思則罔，思而不學則殆”，從古至今，多少人用實際行動來證明了學習與思考之間的關系.作為一門學科，數學是所有教學者和學習者的一大難題，數學的學習與思考之間聯系之緊密，在學習的過程中我們都有著深刻的體會.在解決數學問題的時候，我們經常會發現，運用常規的思維方式有時候不僅解決不了問題，反而會走入一個死胡同，這就需要我們在日常學習過程中多反思，在求異創新的基礎上加強我們的解題能力.

例7設a，b都是自然數，當a2+b2除以a+b時，商為q，余數為r，試求出所有數對（a，b），使q2+r=1 977.

思考這是一道難度相對較大的代數問題，我們看到問題的時候，總會考慮首先將商和余數如何代入原公式，然后解答.這時，我們會發現，已經沒有辦法進行下一步解答.那么，如何解決這道習題，我們就應該考慮從不同條件、不同方向入手.

解由q2+r=1 977可以得到隱含條件

r≥0，q>0，r，q∈Z，

∴q2≤1 977，q≤44.

又當q≤43時，有r≥128，

a2+b2=q（a+b）+r≤44（a+b），

而（a+b）2≤2（a2+b2）≤88（a+b）a+b≤88與r≥128矛盾，

所以q=44，r=41.

將q=44，r=41代入條件①有

a2+b2=44（a+b）+41，

即（a-22）2+（b-22）2=1 009.

于是原題就轉化為求二元不定方程在自然數集內的特解問題，用驗算法找出

a=50，b=7或a=50，b=37.

故滿足問題的數對只有（50，7）或（50，37）.

蘇霍姆林斯基曾說：“一個人到學校，不僅是獲得一份知識的行囊，而主要是獲得聰明.因此，我們的主要的努力就不應用在記憶上，而應用在思考上.所以真正的學校應是一個思考的王國，必須讓學生生活在思考的世界里.”在教與學的過程中，我們不僅僅要去學習，更加要求思考，不僅要讓學生知道該怎樣做，更要讓學生知道為什么這樣做，甚至于學生的突發奇想，發現其他的、合理的做法，我們都應該加以鼓勵和引導.

三、數學與求異創新

我們知道，數學解題中的求異創新往往會帶來出其不意的收獲，數學與求異創新息息相關.可以說，數學離不開求異創新.一般來說，數學上的新概念、新設計、 新模型、 新方法等都是創造性思維的結果[2].先求異再創新已經成為突破數學常規思維的一個方向和方法.事實上，一個新的數學成果，在形成之前的思維方式都是求異思維的結果.

吉爾福特說：“正是在擴散性思維中，我們看到了創造性思維最明顯的標志.”擴散性思維又等同于求異思維的能力.它具有找到符合問題要求的多種答案的能力.作為教學者，我們要求將求異思維通過與現實相連并且以豐富的知識和創新的邏輯形式傳授給學生，以這種非嚴格科學意義上的數學教育，讓學生喜歡數學，感受數學的作用，才能使學生將求異創新思維更好地應用于數學學習中.

【參考文獻】

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[5]錢金戈，周麗葉.談在小學數學教學中發展求異思維培養學生創新能力[J].中國培訓，2015（18）：247.

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[9]馬忠林主.數學學習論[M].南寧：廣西教育出版社，2003.

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