構造函數解決不等式中的恒成立問題思考

程少輝

摘 要 本文針對高考數學試題中的不等式恒成立問題進行思考分析，以構造函數的解題思路來解決此類題目，幫助考生更好地利用函數知識解題，進一步提高考生對此類考題的解題信心，從而提高高考數學成績。

關鍵詞 高考數學題 不等式 函數 解決

中圖分類號：G642 文獻標識碼：A

不等式恒成立問題是高考及各類考試的命題熱點，也是數學教學的重點和難點。學生在進行此類數學題目的解答時，往往在構造函數方面出現問題，受困于某一點上不能順利進行又或按照錯誤的思路方向進行解題，因此，現結合相關經典考題進行講解論述，以幫助學生更好解決此類數學難題。

1參變分離原則

在含參數的不等式成立問題中，常?？蓪⒑瑓档牟糠帧胺蛛x”到一端，并且另一端的“無參”函數可求最值，這種“分離參數法”的思路簡潔通俗、直截了當，是我們建構目標函數解決問題的一種典型做法。

例1：對一切x∈R+，不等式2xlnx≥x2+ax3恒成立，求實數a的取值范圍。

解析：上述不等式中含參數的部分“單一”，參數分離非常容易：a≤x++2lnx，對于不等式另一側的無參函數g（x）=x++2lnx（x>0），利用導數知識求其最小值也很常規。運用分離參數法必須具備兩個基本條件：一是不等式中含參數的部分容易“分離”，二是分離后的無參函數可求最值。如果將本題不等式的常數項“3”改為“3a2”，該種方法恐怕就失效了！

2通性通法原則

對于形如“f（x）>g（x）”的不等式，我們通常構造左右兩端的“差函數”F（x）=f（x）g（x），分析該目標函數的單調性研究其極值、最值情況。在實際的函數導數壓軸題中，所構造的“差函數”往往蘊含著參數，這就給目標函數的單調性、極值點、零點、最值等性質的研究帶來不確定性，需要我們把握分類討論的依據，羅列所有可能情形逐一分析，方能將目標函數的各種性態研究透徹，進而實現問題的化解！

例2：（2015年山東高考理科21）設函數f（x）=ln（x+1）+a（x2x），其中a∈R。

（Ⅰ）討論函數f（x）極值點的個數，并說明理由；

（Ⅱ）若x>0，f（x）≥0成立，求a的取值范圍。

解析：（1）略；（2）f（x）本身即為目標函數，關鍵是確定其在（0，+∞）上的最小值或取值范圍，對其求導得f′（x）=+a（2x1）=（其中x>0）：

①當a∈[0，1]時，f′（x）>0，f（x）在（0，+∞）上單調遞增，f（x）>f（0）=0滿足題意；

②當a∈（1，+∞）時，由 =a28a（1a）>0得方程2ax2+ax+1a=0存在異號兩根x1，x2（不妨設x1<0

③當a∈（∞，0）時， =a28a（1a）>0，設方程2ax2+ax+1a=0兩根為x1，x2（其中x1<0

綜上，a的取值范圍為[0，1]。

3簡約可行原則

筆者認為：在建構目標函數模型時，還應注意所構造的函數要進行提煉、簡化或變形，否則，若函數結構過于復雜，必然造成求導運算繁瑣，難以確定其函數單調性，導致函數性態研究受阻、無法持續。這就需要我們先對所構造的目標函數進行充分“預估、調試、簡化”，才能使所構造的目標函數模型優化有效，從而讓問題的解決路徑得以通暢順達！

例3：（2011年全國高考理科21）已知函數f（x）=+，曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為x+2y3=0。

（Ⅰ）求a、b的值；

（Ⅱ）如果當x>0，且x≠1時，f（x）>+，求k的取值范圍。

解析：（Ⅰ）a=1，b=1（解略）；

（Ⅱ）不等式+>+有多種轉化方式。

思路一（分離參數法）：k<+，但右端無參函數求導研究非常棘手；

思路二（構造差函數）：分析h（x）=+的單調性、最值情況，仍然繁瑣；

思路三（優化差函數）：h（x）=+=[+（1）（）]，從而問題轉為為2lnx+（1k）（x）<0在（1，+∞）上恒成立，且2lnx+（1k）（x）>0在（0，1）上恒成立。于是構造函數 （x）=2lnx+（1k）（x），倘若再令m=1k，則目標函數又可簡化為 （x）=2lnx+m（x）， ′（x）=，討論如下：

（1）當m≤0時， ′（x）>0， （x）在（0，1）和（1，+∞）上單調遞增，且 （1）=0。故在（0，1）上， （x）<0；在（1，+∞）上， （x）>0，不合題意；

（2）當m>0時，由 =44m2得：

①若 ≤0即m≥1時， ′（x）<0， （x）在（0，1）和（1，+∞）上單調遞減，且 （1）=0。故在（0，1）上， （x）>0；在（1，+∞）上 （x）<0，滿足題意；

②若 >0即0

綜上，m≥1，即1k≥1，k≤0。

4一元歸化原則

遇到求解有關二元不等式成立的綜合問題時，需要認真分析不等式結構，從中提煉二元函數模型：y=f（x1，x2），但如何研究二元函數又是一個挑戰，可以考慮轉換為一元函數去解決。事實上，很多二元函數y=f（x1，x2）可圍繞或x1x2等進行適當的配湊變形，再令其中t=或t=x1x2等，即可轉換成關于t的一元函數y= （t）來解決，這是一種常見的化歸策略。

于是問題轉化為判斷g（x1，x2）=ln的符號，只要令=t，t∈（0，1），利用導數考察 （t）=lnt（t∈（0，1））的符號即可。

5執果索因原則

某些不等式（如二元不等式）的證明，并不能象上面那樣直接輕易地構建出目標函數，而是從所要證明的目標開始分析，逐步探求使結論成立的充分條件，在追溯解決問題線索中自然產生構造函數、研究函數的需要，這種函數建構針對性強、目標清晰、規避模式，有利于提升分析問題和解決問題的綜合能力。

例5：（2016年全國新課標Ⅰ理21改編）已知函數f（x）=（x2）ex+a（x1）2（a>0）。

（Ⅰ）求函數f（x）的單調區間和極值；

（Ⅱ）設x1，x2是的兩個零點，證明：x1+x2<2。

解析由f′（x）=（x1）（ex+2a）可得：f（x）的遞增區間為（1，+∞），遞減區間為（∞，1），故其在x=1處取得極小值f（1）=e。第（Ⅰ）小題的設置讓我們獲得了函數f（x）的大致輪廓；第（Ⅱ）小題可由第（Ⅰ）小題的結果以及函數值的符號、趨勢，勾勒出函數f（x）的示意圖，容易發現直線x=1是函數f（x）的“類對稱軸”，由于“類對稱軸”兩邊增減幅度不同，當f（x1）=f（x2）時，可直觀發現：x1+x2<2，這就是第（Ⅱ）小題的問題產生的原始背景。

下面我們結合圖像尋找證明思路：（不妨預設x1<1

x1+x2<2 x2<2x1（注意到x2>1，2x1>1）

←f（x2）

←f（x1）

←（f（x）

←g（x）=f（x）f（2x）<0在（∞，1）上成立。

于是解決問題的切入點轉為常規的構造函數運用導數知識證明不等式恒成立問題。

6結語

上述不等式問題的解決，關鍵一點是借助構造函數的方法，從題目的不等關系中挖掘出我們熟悉的函數，利用函數的相關知識達到解決問題的目的。同時，在我們的平時學習中，要加強重視函數的學習，將函數的圖象、的性質學習熟悉，對于解決不等式問題有著極大的促進作用。

參考文獻

[1] 趙忠平.例談構造函數的常用技巧[J].理科考試研究，2012（01）.

[2] 馬進.“恒等式”在解題中的應用[J].中國數學教育，2013（24）.