導(dǎo)數(shù)在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

姜鴻

（湖北省武漢市常青第一中學(xué)）

摘 要：導(dǎo)數(shù)是聯(lián)系高等數(shù)學(xué)與初等數(shù)學(xué)的紐帶，是高中數(shù)學(xué)重要知識(shí)點(diǎn)的交匯。導(dǎo)數(shù)與多個(gè)章節(jié)都有著緊密的聯(lián)系。而高中階段引進(jìn)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)有利于學(xué)生更好地理解函數(shù)的性態(tài)，掌握函數(shù)思想，搞清曲線的切線問(wèn)題，以便使學(xué)生學(xué)好其他學(xué)科，并發(fā)展學(xué)生的思維能力。因而在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)及解題過(guò)程中，可以利用導(dǎo)數(shù)思想解決諸如函數(shù)（解析式、值域、最（極）值、單調(diào)區(qū)間等）問(wèn)題、切線問(wèn)題、不等式問(wèn)題、數(shù)列問(wèn)題以及實(shí)際應(yīng)用等問(wèn)題。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；導(dǎo)數(shù)；應(yīng)用

一、導(dǎo)數(shù)的重要性以及應(yīng)用

（一）有利于其他學(xué)科的學(xué)習(xí)

對(duì)于任何事情來(lái)說(shuō)，打好基礎(chǔ)是成功的第一步。俗話說(shuō)：“千里之行，始于足下。”所以萬(wàn)事都需要一個(gè)牢固的基礎(chǔ)，當(dāng)然數(shù)學(xué)也不例外。而導(dǎo)數(shù)是微積分中的重要概念，同時(shí)也是學(xué)好函數(shù)與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，它不僅對(duì)本學(xué)科有影響，對(duì)于其他的學(xué)科也起著重要作用。如在物理學(xué)、幾何學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等學(xué)科中的一些重要概念都可以用導(dǎo)數(shù)來(lái)表示。如，導(dǎo)數(shù)可以表示運(yùn)動(dòng)物體的瞬時(shí)速度和加速度，可以用來(lái)做磁場(chǎng)問(wèn)題，即變化的電場(chǎng)產(chǎn)生磁場(chǎng)還是變化的磁場(chǎng)產(chǎn)生電場(chǎng)，是穩(wěn)定的還是變化的，這些是可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)進(jìn)行引入論證的。當(dāng)然也可以表示曲線在一點(diǎn)的斜率，還可以表示經(jīng)濟(jì)學(xué)中的邊際和彈性。

（二）有利于學(xué)生更好地理解函數(shù)

在高中階段學(xué)習(xí)函數(shù)對(duì)于同學(xué)們來(lái)說(shuō)是很重要的。函數(shù)是數(shù)學(xué)教學(xué)中的一大塊內(nèi)容。而函數(shù)教學(xué)的重要內(nèi)容有函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、周期性、有界性等。對(duì)于基本的初等函數(shù)我們可以采取圖像法將之表現(xiàn)出來(lái)，而函數(shù)的一些性質(zhì)也就會(huì)一目了然。而如果是非基本初等函數(shù)，描點(diǎn)法畫(huà)圖則會(huì)很難準(zhǔn)確表達(dá)。而如果學(xué)生對(duì)導(dǎo)數(shù)知識(shí)了解以后，就可以運(yùn)用函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值點(diǎn)、最值點(diǎn)；利用函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的凹凸區(qū)間、拐點(diǎn)，然后再結(jié)合描點(diǎn)法，就能較為準(zhǔn)確地作出函數(shù)的圖像。另外，數(shù)學(xué)的很多問(wèn)題不是靠基本的方法就可以解決的。一些很難的題目我們可以根據(jù)函數(shù)思想來(lái)解答，如不等式的證明，我們都可以通過(guò)構(gòu)建函數(shù)模型，利用導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行解答。如不等式lnx0，運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求證：lnx0），令f′（x）=1/x-1=0，x=1當(dāng)00，當(dāng)x>1時(shí)，f′（x）<0，∴x=1時(shí)函數(shù)f（x）取極大值f（1）=-1∴f（x）=lnx-x<0，即lnx1，指數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，∴elnx1，對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)遞增，∴l(xiāng)nx

（三）有利于發(fā)展學(xué)生的思維能力

其實(shí)通過(guò)對(duì)導(dǎo)數(shù)的學(xué)習(xí)以及導(dǎo)數(shù)在數(shù)學(xué)中的應(yīng)用這種思維可以啟發(fā)學(xué)生由局部到整體的思想，而如何讓學(xué)生明白導(dǎo)數(shù)的重要性，教師就需要做好一定的功課，盡量用言簡(jiǎn)意賅的教學(xué)思想將之表達(dá)出來(lái)。而高中階段，學(xué)生不只是要掌握知識(shí)，其實(shí)還要加強(qiáng)自主學(xué)習(xí)和對(duì)數(shù)學(xué)思想方法的掌握。在以前的教學(xué)中大多老師都是將知識(shí)作為一種規(guī)則來(lái)教學(xué)，那是一種機(jī)械教學(xué)。對(duì)于導(dǎo)數(shù)來(lái)說(shuō)，學(xué)生估計(jì)只會(huì)一些淺薄的定義和簡(jiǎn)單的題目，根本不能做到舉一反三，從而失去對(duì)數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)興趣。而如果在教學(xué)中，通過(guò)大量的實(shí)際案例，讓學(xué)生理解從“平均變化到瞬時(shí)變化”、從“有限到無(wú)限”的思想，進(jìn)而可以將局部方法引導(dǎo)到整體方法。這樣的穿插可以提高學(xué)生的思維能力，也可以提高學(xué)生的實(shí)際動(dòng)手能力與創(chuàng)新能力。

二、總結(jié)

雖然高中數(shù)學(xué)相對(duì)于其他學(xué)科來(lái)說(shuō)存在著一定的難度，但是如果找到合適的數(shù)學(xué)思想方法，那么就會(huì)迎刃而解。通過(guò)學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)，我們可以看出數(shù)學(xué)知識(shí)是緊密聯(lián)系的，它是一個(gè)系統(tǒng)，猶如食物鏈一樣，不可分離。如果沒(méi)有導(dǎo)數(shù)的扎實(shí)基本功，那么對(duì)于函數(shù)以及不等式或者其他與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)習(xí)起來(lái)就不會(huì)得心應(yīng)手，而且還有可能會(huì)造成學(xué)生對(duì)知識(shí)學(xué)習(xí)的不牢固。另外，通過(guò)導(dǎo)數(shù)這一例子，不僅可以促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的全面認(rèn)識(shí)，還會(huì)發(fā)展學(xué)生的辯證思維能力，同時(shí)也會(huì)為接下來(lái)的學(xué)習(xí)奠定一定的基礎(chǔ)。還有學(xué)習(xí)的實(shí)際意義，其實(shí)也就是促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展，為自己所處的現(xiàn)實(shí)生活提供幫助。

參考文獻(xiàn)：

[1]郭志卿.與導(dǎo)數(shù)有關(guān)的函數(shù)問(wèn)題[J].高中數(shù)學(xué)教與學(xué)，2010（2）.

[2]蔣孝德.函數(shù)與導(dǎo)數(shù)考查點(diǎn)探析[J].高中數(shù)理化，2010（2）.

[3]孫雪鈺.高中生在“導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用”學(xué)習(xí)中的困難及教學(xué)策略研究[D].山東師范大學(xué)，2011.

編輯 謝尾合